Encontre a quantidade de números naturais de 20 dígitos que não têm nenhum par de dígitos consecutivos iguais.
Passo 1
Então, temos um problema de contagem aqui! Queremos descobrir quantos números naturais de 20 dígitos existem onde nenhum par de dígitos consecutivos é igual. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente sobre arranjos com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no primeiro dígito do número de 20 dígitos. Como estamos falando de números naturais com 20 dígitos, o primeiro dígito não pode ser zero (senão não seria um número de 20 dígitos). Portanto, temos 9 opções para o primeiro dígito (1 a 9).
Passo 3
Agora, vamos para os demais dígitos, do segundo ao vigésimo. A restrição aqui é que nenhum dígito pode ser igual ao dígito que está logo antes dele. Então, para cada posição subsequente, o dígito escolhido deve ser diferente do dígito anterior.
Passo 4
Para o segundo dígito, já que ele não pode ser igual ao primeiro, temos novamente 9 opções (já que existem 10 dígitos possíveis de 0 a 9, menos o dígito que foi usado no primeiro lugar).
Passo 5
Esse mesmo raciocínio se aplica a cada um dos dígitos seguintes até o vigésimo. Cada vez, temos 9 opções disponíveis, porque não podemos repetir o dígito imediatamente anterior.
Passo 6
Então, temos:
- 9 opções para o primeiro dígito,
- 9 opções para o segundo dígito,
- 9 opções para o terceiro dígito,
- …
- 9 opções para o vigésimo dígito.
Passo 7
Para encontrar o número total de combinações possíveis, multiplicamos o número de opções para cada posição. Isso significa que multiplicamos 9 por si mesmo 20 vezes.
Passo 8
Matematicamente, isso é representado como:
Resposta
A quantidade de números naturais de 20 dígitos sem nenhum par de dígitos consecutivos iguais é
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