Encontre a quantidade de números naturais de 20 dígitos que não têm nenhum par de dígitos consecutivos iguais.

Passo 1

Então, temos um problema de contagem aqui! Queremos descobrir quantos números naturais de 20 dígitos existem onde nenhum par de dígitos consecutivos é igual. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente sobre arranjos com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no primeiro dígito do número de 20 dígitos. Como estamos falando de números naturais com 20 dígitos, o primeiro dígito não pode ser zero (senão não seria um número de 20 dígitos). Portanto, temos 9 opções para o primeiro dígito (1 a 9).

Passo 3

Agora, vamos para os demais dígitos, do segundo ao vigésimo. A restrição aqui é que nenhum dígito pode ser igual ao dígito que está logo antes dele. Então, para cada posição subsequente, o dígito escolhido deve ser diferente do dígito anterior.

Passo 4

Para o segundo dígito, já que ele não pode ser igual ao primeiro, temos novamente 9 opções (já que existem 10 dígitos possíveis de 0 a 9, menos o dígito que foi usado no primeiro lugar).

Passo 5

Esse mesmo raciocínio se aplica a cada um dos dígitos seguintes até o vigésimo. Cada vez, temos 9 opções disponíveis, porque não podemos repetir o dígito imediatamente anterior.

Passo 6

Então, temos:
  • 9 opções para o primeiro dígito,
  • 9 opções para o segundo dígito,
  • 9 opções para o terceiro dígito,
  • 9 opções para o vigésimo dígito.

Passo 7

Para encontrar o número total de combinações possíveis, multiplicamos o número de opções para cada posição. Isso significa que multiplicamos 9 por si mesmo 20 vezes.

Passo 8

Matematicamente, isso é representado como:

Resposta

A quantidade de números naturais de 20 dígitos sem nenhum par de dígitos consecutivos iguais é .

Exercícios relacionados

Desenhe uma árvore ilustrando a maneira de contar o número de sequências de comprimento 2 formadas com os caracteres e .
Qual é a diferença , se
(b) é o conjunto dos números reais não negativos e é o conjunto dos números reais não positivos?
Quantos divisores positivos diferentes cada um dos números abaixo tem?
(a)
Quantos divisores positivos diferentes cada um dos números abaixo tem?
(b) 620