Encontre a quantidade de números naturais de 20 dígitos que não têm nenhum par de dígitos consecutivos iguais.
Passo 1
Então, temos um problema de contagem aqui! Queremos descobrir quantos números naturais de 20 dígitos existem onde nenhum par de dígitos consecutivos é igual. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente sobre arranjos com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no primeiro dígito do número de 20 dígitos. Como estamos falando de números naturais com 20 dígitos, o primeiro dígito não pode ser zero (senão não seria um número de 20 dígitos). Portanto, temos 9 opções para o primeiro dígito (1 a 9).
Passo 3
Agora, vamos para os demais dígitos, do segundo ao vigésimo. A restrição aqui é que nenhum dígito pode ser igual ao dígito que está logo antes dele. Então, para cada posição subsequente, o dígito escolhido deve ser diferente do dígito anterior.
Passo 4
Para o segundo dígito, já que ele não pode ser igual ao primeiro, temos novamente 9 opções (já que existem 10 dígitos possíveis de 0 a 9, menos o dígito que foi usado no primeiro lugar).
Passo 5
Esse mesmo raciocínio se aplica a cada um dos dígitos seguintes até o vigésimo. Cada vez, temos 9 opções disponíveis, porque não podemos repetir o dígito imediatamente anterior.
Passo 6
Então, temos:
- 9 opções para o primeiro dígito,
- 9 opções para o segundo dígito,
- 9 opções para o terceiro dígito,
- …
- 9 opções para o vigésimo dígito.
Passo 7
Para encontrar o número total de combinações possíveis, multiplicamos o número de opções para cada posição. Isso significa que multiplicamos 9 por si mesmo 20 vezes.
Passo 8
Matematicamente, isso é representado como:
Resposta
A quantidade de números naturais de 20 dígitos sem nenhum par de dígitos consecutivos iguais é
.
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e
.
Qual é a diferença
, se
(b) é o conjunto dos números reais não negativos e
é o conjunto dos números reais não positivos?
(b)
Quantos divisores positivos diferentes cada um dos números abaixo tem?
(a)
(a)
Quantos divisores positivos diferentes cada um dos números abaixo tem?
(b) 620
(b) 620