Quantos divisores positivos diferentes cada um dos números abaixo tem?
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre encontrar o número de divisores positivos diferentes de um número que está escrito como produto de potências de primos. Aqui, a matéria envolvida é teoria dos números, especificamente sobre divisores. Para resolver, vamos precisar entender como a fatoração prima de um número pode nos ajudar a determinar quantos divisores ele possui.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o número dado: . Aqui, cada base é um número primo e o expoente indica quantas vezes ele aparece na fatoração do número.

Passo 3

A teoria que vamos usar diz que, se um número é fatorado como , onde são primos distintos e são seus respectivos expoentes, então o número total de divisores positivos de é dado por .

Passo 4

Aplicando essa regra ao nosso número:
  • O expoente de 3 é 4, então .
  • O expoente de 5 é 2, então .
  • O expoente de 7 é 6, então .
  • O expoente de 11 é 1 (já que está sem expoente escrito), então .

Passo 5

Agora, somamos 1 a cada um desses expoentes:

Passo 6

Em seguida, multiplicamos esses resultados para encontrar o número total de divisores:

Resposta

O número tem 210 divisores positivos diferentes.

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(b) 620
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