Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
integral1^e raiz1x^2+2+x^2 d x

Passo 1

Vamos analisar o enunciado. Queremos calcular a integral definida de 1 a da função em relação a . Esse problema envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais definidas e manipulação algébrica para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos sobre simplificação de expressões algébricas e integração de funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observamos que:
1x^2 + 2 + x^2 = x^2 + 2 + 1x^2

Passo 3

Vamos reescrever essa expressão de uma forma que seja um quadrado perfeito. Note que:
x^2 + 2 + 1x^2 = ( x - 1x )^2 + 4
Isso porque:
( x - 1x )^2 = x^2 - 2 cdot x cdot 1x + 1x^2 = x^2 - 2 + 1x^2
Então, adicionando 4:
x^2 - 2 + 1x^2 + 4 = x^2 + 2 + 1x^2

Passo 4

Agora, podemos simplificar a raiz:
raizx^2 + 2 + 1x^2 = raiz( x - 1x )^2 + 4
No entanto, isso ainda é complicado para integrar diretamente. Vamos tentar outra abordagem de simplificação.

Passo 5

Observe que:
x^2 + 2 + 1x^2 = x^4 + 2x^2 + 1x^2 = ( x^2 +1 )^2x^2
Portanto:
raizx^2 + 2 + 1x^2 = raiz( x^2 +1 )^2x^2 = x^2 +1x

Passo 6

Simplificando a fração:
x^2 +1x = x^2x + 1x = x + 1x

Passo 7

Agora, a integral se torna:
integral1^e ( x + 1x ) dx
Essa função é mais fácil de integrar, pois sabemos que a integral de é e a integral de é .

Passo 8

Calculando as integrais:
integral ( x + 1x ) dx = x^22 + ln|x| + C

Passo 9

Aplicando os limites de integração de 1 a [ x^22 + ln x ]1^e = ( e^22 + ln e ) - ( 12 + ln 1 ) :
Sabemos que e .

Passo 10

Substituindo os valores:
( e^22 + 1 ) - ( 12 + 0 ) = e^22 + 1 - 12 = e^2 + 12

Resposta

e^2 + 12

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