Calcule, as seguintes integrais quando possivel:
Passo 1
Vamos analisar o enunciado. Queremos calcular a integral definida de 1 a
da função
em relação a
. Esse problema envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais definidas e manipulação algébrica para simplificar a expressão antes de integrar. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos sobre simplificação de expressões algébricas e integração de funções básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a integração. Observamos que:
Passo 3
Vamos reescrever essa expressão de uma forma que seja um quadrado perfeito. Note que:
Isso porque:
Então, adicionando 4:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a raiz:
No entanto, isso ainda é complicado para integrar diretamente. Vamos tentar outra abordagem de simplificação.
Passo 5
Observe que:
Portanto:
Passo 6
Simplificando a fração:
Passo 7
Agora, a integral se torna:
Essa função é mais fácil de integrar, pois sabemos que a integral de
é
e a integral de
é
.
Passo 8
Calculando as integrais:
Passo 9
Aplicando os limites de integração de 1 a
:
Sabemos que
e
.
Passo 10
Substituindo os valores: