Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=2^infty x^2 nn(ln n)^2

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=2^infty x^2nn(ln n)^2
Para isso, vamos usar o Teste da Raiz (também conhecido como Teste de Cauchy), que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries envolvendo potências de . Precisaremos entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz à série dada. Esse teste nos diz que, para a série
sum an
seja
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se an = x^2nn(ln n)^2, a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é:

Passo 3

Vamos calcular L = limn to infty raiz[n]| x^2nn(ln n)^2 |:
L = limn to infty |x|^2raiz[n]n(ln n)^2
Como é sempre positivo, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador:
raiz[n]n(ln n)^2 = raiz[n]n cdot raiz[n](ln n)^2
Sabemos que:
limn to infty raiz[n]n = 1
limn to infty raiz[n](ln n)^2 = 1
Portanto:
limn to infty raiz[n]n(ln n)^2 = 1 cdot 1 = 1

Passo 5

Substituindo de volta em L = limn to infty |x|^21 = |x|^2:
|x|^2 < 1
Segundo o Teste da Raiz, a série converge se |x| < 1, ou seja:
Isso implica que:

Passo 6

O raio de convergência R = 1 é o valor de onde a série começa a divergir. Dessa forma, temos:

Passo 7

Agora, para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar os pontos finais sumn=2^infty 1^2nn(ln n)^2 = sumn=2^infty 1n(ln n)^2.
Quando sumn=2^infty (-1)^2nn(ln n)^2 = sumn=2^infty 1n(ln n)^2:
Sabemos que a série converge para . Aqui, , então a série converge.
Quando :
Da mesma forma, a série converge.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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