Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Para isso, vamos usar o Teste da Raiz (também conhecido como Teste de Cauchy), que é uma ferramenta útil para determinar a convergência de séries envolvendo potências de . Precisaremos entender como aplicar essa técnica passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz à série dada. Esse teste nos diz que, para a série
seja
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, o termo geral da série é:

Passo 3

Vamos calcular :
Como é sempre positivo, podemos simplificar:

Passo 4

Agora, vamos simplificar o denominador:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 5

Substituindo de volta em :
Segundo o Teste da Raiz, a série converge se , ou seja:
Isso implica que:

Passo 6

O raio de convergência é o valor de onde a série começa a divergir. Dessa forma, temos:

Passo 7

Agora, para determinar o intervalo de convergência, precisamos verificar os pontos finais .
Quando :
Sabemos que a série converge para . Aqui, , então a série converge.
Quando :
Da mesma forma, a série converge.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Seja uma molécula apolar no campo elétrico de uma carga pontual positiva. Esta molécula será atraída ou repelida pela carga positiva? Se a carga pontual fosse negativa, a molécula será atraída ou repelida pela carga negativa?
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
O campo elétrico, na lei de Gauss, é apenas a parte do campo elétrico devido às cargas que estão no interior da superfície gaussiana, ou é o campo elétrico total, devido a todas cargas, internas e externas, à superfície?
Encontre o raio de convergência de cada série (usando o teste da razão):