Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
(l)
Passo 1
Então, temos que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência. Precisaremos entender como calcular o raio de convergência e depois determinar o intervalo onde a série realmente converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a análise. Note que pode ser escrito como . Então, a série fica:
Isso nos mostra que estamos lidando com uma série de potências na forma , onde .
Passo 3
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Critério da Razão ou o Teste da raiz. O Critério da Razão é frequentemente útil para séries de potências. Ele diz que o raio de convergência pode ser encontrado por: