Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
(l) sumn=1^infty x^2 nn(ln n)^2

Passo 1

Então, temos que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty x^2nn(ln n)^2
Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência. Precisaremos entender como calcular o raio de convergência e depois determinar o intervalo onde a série realmente converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma que facilite a análise. Note que sumn=1^infty (x^2)^nn(ln n)^2 pode ser escrito como . Então, a série fica:
Isso nos mostra que estamos lidando com uma série de potências na forma , onde .

Passo 3

Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o Critério da Razão ou o Teste da raiz. O Critério da Razão é frequentemente útil para séries de potências. Ele diz que o raio de convergência 1R = limn to infty | an+1an | pode ser encontrado por:
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 4

Calculando a razão an+1an = 1(n+1)(ln (n+1))^21n(ln n)^2 = n(ln n)^2(n+1)(ln (n+1))^2 :
Agora, precisamos calcular o limite dessa expressão quando tende ao infinito.

Passo 5

Calculando o limite:
limn to infty n(ln n)^2(n+1)(ln (n+1))^2 = limn to infty nn+1 cdot ( ln nln (n+1) )^2
Sabemos que:
limn to infty nn+1 = 1
E:
limn to infty ln nln (n+1) = 1
Portanto:
limn to infty an+1an = 1 cdot 1^2 = 1

Passo 6

Aplicando o resultado ao Critério da Razão:
1R = 1 implies R = 1
Então, o raio de convergência é 1. Isso significa que a série converge quando , ou seja, quando .

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para . Precisamos verificar agora o que acontece quando .
Vamos testar para e .

Passo 8

Para sumn=1^infty 1^2nn(ln n)^2 = sumn=1^infty 1n(ln n)^2 :
sumn=1^infty (-1)^2nn(ln n)^2 = sumn=1^infty 1n(ln n)^2
Esta é uma série do tipo com . Sabemos que para , a série converge.
Para :
Aqui, temos a mesma série que para , que também converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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