Mostre que a expansão de Laurent de
f(z)=1e^z-1
em torno de z0=0 é da forma
1z-12+sumk=1^infty(-1)^k-1 Bk(2 k)! z^k
onde Bk são números reais. Cada Bk é chamado número de Bernoulli. Calcule os primeiros três números de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão de Laurent da função em torno de . Isso envolve trabalhar com séries e funções complexas. Vamos precisar entender o que é uma série de Laurent e como ela se relaciona com os números de Bernoulli para chegar na forma apresentada. No final, também vamos calcular os três primeiros números de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão de Laurent. É uma forma de expressar uma função complexa como uma série que pode incluir termos positivos e negativos de . Isso é útil especialmente perto de pontos onde a função tem singularidades, como no nosso caso em .

Passo 3

A função que temos é e^z = 1 + z + z^22! + z^33! + cdots . Para expandi-la em série, vamos usar a expansão da exponencial e^z - 1 = z + z^22! + z^33! + cdots . Sabemos que:
Subtraindo 1 de ambos os lados:

Passo 4

Agora, queremos a expansão de f(z) = 1z (1 + z2! + z^23! + cdots ) , que podemos escrever como:
f(z) = 1z cdot 11 + z2! + z^23! + cdots
Vamos fatorar o do denominador:

Passo 5

Para simplificar a expressão 11 + a1 z + a2 z^2 + cdots = 1 - a1 z + (a1^2 - a2) z^2 - cdots , vamos usar a série de Taylor para o inverso de uma função, que nos permite reescrever essa fração como uma série infinita.
Isso nos leva a:
f(z) = 1z (1 - z2 + sumk=1^infty (-1)^k-1 Bk(2k)! z^k )
Aplicando isso à nossa função:

Passo 6

Comparando com a forma que queremos mostrar:
1z - 12 + sumk=1^infty (-1)^k-1 Bk(2k)! z^k
Vemos que os são os números de Bernoulli, que aparecem nos coeficientes da série.

Passo 7

Agora, vamos calcular os três primeiros números de Bernoulli. Sabemos que os números de Bernoulli são definidos por suas próprias propriedades e recorrências. Aqui estão os três primeiros:

Resposta

A expansão de Laurent de 1z - 12 + sumk=1^infty (-1)^k-1 Bk(2k)! z^k em torno de B1 = 12, B2 = 16, B3 = 0 é:
E os três primeiros números de Bernoulli são:

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sumn=0^infty cn x^n, cn>0
converge para x=R, onde R é positivo, então ela também convergirá no intervalo -R <= x <= R.
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função f(z) = z / ((z - 1)(z - 3)(z - 5)) em torno de z0 = 1.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
(l) sumn=1^infty x^2 nn(ln n)^2
Calcule a integral 12 pi i ointpartial D(0,8) f(z) d z, onde f(z)=cot z(z-6 i)^2+64.