Mostre que a expansão de Laurent de
em torno de
é da forma
onde
são números reais. Cada
é chamado número de Bernoulli. Calcule os primeiros três números de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a expansão de Laurent da função
em torno de
. Isso envolve trabalhar com séries e funções complexas. Vamos precisar entender o que é uma série de Laurent e como ela se relaciona com os números de Bernoulli para chegar na forma apresentada. No final, também vamos calcular os três primeiros números de Bernoulli.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma expansão de Laurent. É uma forma de expressar uma função complexa como uma série que pode incluir termos positivos e negativos de
. Isso é útil especialmente perto de pontos onde a função tem singularidades, como no nosso caso em
.
Passo 3
A função que temos é
. Para expandi-la em série, vamos usar a expansão da exponencial
. Sabemos que:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, queremos a expansão de
, que podemos escrever como:
Vamos fatorar o
do denominador:
Passo 5
Para simplificar a expressão
, vamos usar a série de Taylor para o inverso de uma função, que nos permite reescrever essa fração como uma série infinita.
Isso nos leva a:
Aplicando isso à nossa função:
Passo 6
Comparando com a forma que queremos mostrar:
Vemos que os
são os números de Bernoulli, que aparecem nos coeficientes da série.
Passo 7
Agora, vamos calcular os três primeiros números de Bernoulli. Sabemos que os números de Bernoulli
são definidos por suas próprias propriedades e recorrências. Aqui estão os três primeiros:
Resposta
A expansão de Laurent de
em torno de
é:
E os três primeiros números de Bernoulli são:
Exercícios relacionados
Mostre que se uma série de potência
converge para
, onde
é positivo, então ela também convergirá no intervalo
.
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
(l)
(l)
Calcule a integral
, onde
.