Mostre que se uma série de potência
converge para
, onde
é positivo, então ela também convergirá no intervalo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre séries de potências. A questão nos diz que temos uma série da forma
que converge quando
, onde
é positivo. Nosso objetivo é mostrar que essa série também converge para todos os valores de
no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender como o comportamento das séries de potências funciona em torno do seu raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência
de uma série de potências determina o intervalo onde a série converge absolutamente. Isso significa que se a série converge em
, ela também converge para todos os
com
.
Passo 3
Agora, como a série converge em
e sabemos que os coeficientes
são todos positivos, podemos usar o Testes de Convergência para analisar o comportamento em
.
Passo 4
Substituindo
por
, a série se torna:
Como
e
, o termo
apenas alterna o sinal dos termos, mas não afeta a convergência absoluta da série.
Passo 5
Como a série converge em
e converge absolutamente em
, concluímos que a série converge para todo
no intervalo
.
Resposta
Portanto, se a série de potências
converge para
com
, então ela também converge para todos os valores de
no intervalo
.