Mostre que se uma série de potência
converge para
, onde
é positivo, então ela também convergirá no intervalo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre séries de potências. A questão nos diz que temos uma série da forma
que converge quando
, onde
é positivo. Nosso objetivo é mostrar que essa série também converge para todos os valores de
no intervalo
. Para isso, vamos precisar entender como o comportamento das séries de potências funciona em torno do seu raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência
de uma série de potências determina o intervalo onde a série converge absolutamente. Isso significa que se a série converge em
, ela também converge para todos os
com
.
Passo 3
Agora, como a série converge em
e sabemos que os coeficientes
são todos positivos, podemos usar o Testes de Convergência para analisar o comportamento em
.
Passo 4
Substituindo
por
, a série se torna:
Como
e
, o termo
apenas alterna o sinal dos termos, mas não afeta a convergência absoluta da série.
Passo 5
Como a série converge em
e converge absolutamente em
, concluímos que a série converge para todo
no intervalo
.
Resposta
Portanto, se a série de potências
converge para
com
, então ela também converge para todos os valores de
no intervalo
.
Exercícios relacionados
Calcule os primeiros quatro termos da expansão de Laurent da função
em torno de
.
Seja
, com
. Calcule a parte principal de
.
Resposta:1/z.
Mostre que a expansão de Laurent de
em torno de
é da forma
onde
são números reais. Cada
é chamado número de Bernoulli. Calcule os primeiros três números de Bernoulli.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência de cada uma das séries abaixo.
(l)
(l)