Mostre que se uma série de potência
sumn=0^infty cn x^n, cn>0
converge para x=R, onde R é positivo, então ela também convergirá no intervalo -R <= x <= R.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre séries de potências. A questão nos diz que temos uma série da forma
sumn=0^infty cn x^n, cn>0
que converge quando , onde é positivo. Nosso objetivo é mostrar que essa série também converge para todos os valores de no intervalo . Para isso, vamos precisar entender como o comportamento das séries de potências funciona em torno do seu raio de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência de uma série de potências determina o intervalo onde a série converge absolutamente. Isso significa que se a série converge em , ela também converge para todos os com .

Passo 3

Agora, como a série converge em e sabemos que os coeficientes são todos positivos, podemos usar o Testes de Convergência para analisar o comportamento em .

Passo 4

Substituindo sumn=0^infty cn (-R)^n = sumn=0^infty cn (-1)^n R^n por , a série se torna:
Como e , o termo apenas alterna o sinal dos termos, mas não afeta a convergência absoluta da série.

Passo 5

Como a série converge em e converge absolutamente em , concluímos que a série converge para todo no intervalo .

Resposta

Portanto, se a série de potências converge para com , então ela também converge para todos os valores de no intervalo .

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