Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries: sumn=0^infty (-3)^nraizn x^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty (-3)^nraizn x^n. Isso está relacionado ao estudo de séries de potências, onde a gente quer saber para quais valores de a série converge. Vamos precisar usar o Teste da Raiz para encontrar o raio de convergência e depois verificar os extremos para determinar o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Raiz. Esse teste nos ajuda a encontrar o raio de convergência limn to infty raiz[n]| (-3)^nraizn x^n | da série. A ideia é calcular o limite:
raiz[n]| (-3)^nraizn x^n | = raiz[n]3^nraizn |x|^n = 3 |x| cdot raiz[n]1raizn
Simplificando dentro do limite:
limn to infty 3 |x| cdot 1 = 3 |x|
Sabemos que 3 |x| < 1 implies |x| < 13 . À medida que cresce, esse termo tende a 1. Então, o limite fica:
Para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
Portanto, o raio de convergência é .

Passo 3

Agora que temos o raio de convergência, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=0^infty (-3)^nraizn ( 13 )^n = sumn=0^infty (-1)^nraizn , mas precisamos verificar o que acontece nos extremos sumn=0^infty (-3)^nraizn ( -13 )^n = sumn=0^infty 1raizn e .
  1. Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada da forma , onde . Pelo Teste das Séries Alternadas, se é decrescente e tende a zero, a série converge. Aqui, é decrescente e tende a zero, então a série converge para .
  1. Para :
A série fica:
Essa é a série , que é uma série p com . Sabemos que séries p convergem se e divergem se . Como , essa série diverge para .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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