Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais: ;

Passo 1

Vamos resolver a integral utilizando séries de potências. Isso envolve o uso de séries infinitas para simplificar a integração. Para isso, vamos precisar entender como expandir frações em séries e integrar cada termo da série resultante.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função se assemelha à forma da série geométrica. Sabemos que, para , temos:
Aqui, podemos reescrever como:
Isso nos permite identificar .

Passo 3

Substituindo na série geométrica, temos:
Essa é a expansão em série de potências da função dada.

Passo 4

Agora, vamos integrar a série termo a termo. A integral fica:
Aqui, usamos a propriedade de que a integral da soma é a soma das integrais, desde que a série converja.

Passo 5

Integramos cada termo da série:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada usando séries de potências é:

Exercícios relacionados

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries: A série de Bessel
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries: .
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais: , com cinco casas decimais.
(1,0 ponto) Resolva a equação diferencial