Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais: integral 11+x^7 d x;

Passo 1

Vamos resolver a integral utilizando séries de potências. Isso envolve o uso de séries infinitas para simplificar a integração. Para isso, vamos precisar entender como expandir frações em séries e integrar cada termo da série resultante.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função 11 - r = sumn=0^infty r^n se assemelha à forma da série geométrica. Sabemos que, para 11+x^7 = 11 - (-x^7) , temos:
Aqui, podemos reescrever como:
Isso nos permite identificar .

Passo 3

Substituindo 11+x^7 = sumn=0^infty (-x^7)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^7n na série geométrica, temos:
Essa é a expansão em série de potências da função dada.

Passo 4

Agora, vamos integrar a série termo a termo. A integral fica:
integral 11+x^7 dx = integral sumn=0^infty (-1)^n x^7n dx = sumn=0^infty (-1)^n integral x^7n dx
Aqui, usamos a propriedade de que a integral da soma é a soma das integrais, desde que a série converja.

Passo 5

Integramos cada termo da série:
sumn=0^infty (-1)^n integral x^7n dx = sumn=0^infty (-1)^n ( x^7n+17n + 1 ) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral calculada usando séries de potências é:
integral 11+x^7 dx = sumn=0^infty (-1)^n x^7n+17n + 1 + C

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