Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
;
Passo 1
Vamos resolver a integral
utilizando séries de potências. Isso envolve o uso de séries infinitas para simplificar a integração. Para isso, vamos precisar entender como expandir frações em séries e integrar cada termo da série resultante.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
se assemelha à forma da série geométrica. Sabemos que, para
, temos:
Aqui, podemos reescrever
como:
Isso nos permite identificar
.
Passo 3
Substituindo
na série geométrica, temos:
Essa é a expansão em série de potências da função dada.
Passo 4
Agora, vamos integrar a série termo a termo. A integral fica:
Aqui, usamos a propriedade de que a integral da soma é a soma das integrais, desde que a série converja.
Passo 5
Integramos cada termo da série:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral calculada usando séries de potências é:
Exercícios relacionados
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries: A série de Bessel
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries:
.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com cinco casas decimais.
(1,0 ponto) Resolva a equação diferencial