Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries: A série de Bessel
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A gente tem uma série de Bessel dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o raio de convergência. Ele nos informa até que ponto (qual valor de ) a série vai convergir, ou seja, somar de forma finita. Já o intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge.
Vamos usar o Teste da Razão, que basicamente olha para o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série. Neste caso, o termo geral é:
Agora, vamos calcular a razão entre o termo e :
Passo 4
Simplificando a expressão acima:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se o limite dessa razão for menor que 1:
Vamos calcular o limite:
Passo 6
Como para qualquer valor de , isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.
Resposta
O raio de convergência da série de Bessel dada é e o intervalo de convergência é .