Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries: A série de Bessel

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A gente tem uma série de Bessel dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o raio de convergência. Ele nos informa até que ponto (qual valor de ) a série vai convergir, ou seja, somar de forma finita. Já o intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge.
Vamos usar o Teste da Razão, que basicamente olha para o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série. Neste caso, o termo geral é:
Agora, vamos calcular a razão entre o termo e :

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
Isso simplifica para:

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se o limite dessa razão for menor que 1:
Vamos calcular o limite:

Passo 6

Como para qualquer valor de , isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série de Bessel dada é e o intervalo de convergência é .

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