Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das seguintes séries: A série de Bessel sumn=0^infty (-1)^n2^2 n n! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer. A gente tem uma série de Bessel dada por:
sumn=0^infty (-1)^n2^2n n! x^2n
Nosso objetivo aqui é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta matemática que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar rapidamente o que é o raio de convergência. Ele nos informa até que ponto (qual valor de ) a série vai convergir, ou seja, somar de forma finita. Já o intervalo de convergência é o conjunto de todos os valores de para os quais a série converge.
Vamos usar o Teste da Razão, que basicamente olha para o limite da razão entre termos consecutivos da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série. Neste caso, o termo geral an = (-1)^n2^2n n! x^2n é:
| an+1an | = | (-1)^n+12^2(n+1) (n+1)! x^2(n+1) (-1)^n2^2n n! x^2n |
Agora, vamos calcular a razão entre o termo e :

Passo 4

Simplificando a expressão acima:
| an+1an | = | (-1)^n+1 (-1)^n cdot 2^2n2^2(n+1) cdot n!(n+1)! cdot x^2(n+1)x^2n |
Isso simplifica para:
| an+1an | = | 12^2 cdot 1n+1 cdot x^2 | = x^24(n+1)

Passo 5

Agora, aplicamos o Teste da Razão, que diz que a série converge se o limite dessa razão for menor que 1:
limn to infty x^24(n+1) < 1
Vamos calcular o limite:
limn to infty x^24(n+1) = 0

Passo 6

Como para qualquer valor de , isso significa que a série converge para todos os valores de . Portanto, o raio de convergência é infinito.

Resposta

O raio de convergência da série de Bessel dada é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados