Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, useo. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x -1 x^2-1x+1

Passo 1

Vamos encontrar o limite de quando se aproxima de . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites usando álgebra básica e, se necessário, a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos primeiro tentar simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, substituímos (-1)^2 - 1-1 + 1 = 1 - 10 = 00 na expressão para verificar o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital ou procurar uma simplificação algébrica.

Passo 3

Antes de usar a Regra de L’Hôpital, vamos tentar simplificar a fração. Observe que o numerador x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
(x - 1)(x + 1)x + 1
Então, a fração original fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo (x - 1)cancel(x + 1)cancelx + 1 = x - 1 no numerador e denominador, desde que :
Agora, a expressão está simplificada para , que é mais fácil de trabalhar.

Passo 5

Com a expressão simplificada, calculamos o limite substituindo limx -1 (x - 1) = -1 - 1 = -2 :

Resposta

O limite é .

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