Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, useo. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Vamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites usando álgebra básica e, se necessário, a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos primeiro tentar simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na expressão para verificar o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital ou procurar uma simplificação algébrica.
Passo 3
Antes de usar a Regra de L’Hôpital, vamos tentar simplificar a fração. Observe que o numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, a fração original fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Agora, a expressão está simplificada para
, que é mais fácil de trabalhar.
Passo 5
Com a expressão simplificada, calculamos o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 11 e 12, (a) expresse
,
e
como funções de
e
usando a Regra da Cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Então calcule
e
no ponto dado
.
;
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
25.
25.
Inicialmente, um único capacitor
é ligado a uma bateria. Então um capacitor
(descarregado) é adicionado em paralelo a
. São a diferença de potencial através de
Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para , escrevendo-a em termos de
e
, e, então, encontre
.
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.