Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, useo. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Vamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de
. Esse problema está relacionado ao cálculo de limites usando álgebra básica e, se necessário, a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos primeiro tentar simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, substituímos
na expressão para verificar o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital ou procurar uma simplificação algébrica.
Passo 3
Antes de usar a Regra de L’Hôpital, vamos tentar simplificar a fração. Observe que o numerador
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, a fração original fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo
no numerador e denominador, desde que
:
Agora, a expressão está simplificada para
, que é mais fácil de trabalhar.
Passo 5
Com a expressão simplificada, calculamos o limite substituindo
:
Resposta
O limite é
.