Encontre o limite. Use a Regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, useo. Se a Regra de L’Hôspital não for aplicável, explique por quê.

Passo 1

Vamos encontrar o limite de quando se aproxima de . Esse problema está relacionado ao cálculo de limites usando álgebra básica e, se necessário, a Regra de L’Hôpital. Para resolver, vamos primeiro tentar simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, substituímos na expressão para verificar o que acontece:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital ou procurar uma simplificação algébrica.

Passo 3

Antes de usar a Regra de L’Hôpital, vamos tentar simplificar a fração. Observe que o numerador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada:
Então, a fração original fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a fração cancelando o termo no numerador e denominador, desde que :
Agora, a expressão está simplificada para , que é mais fácil de trabalhar.

Passo 5

Com a expressão simplificada, calculamos o limite substituindo :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Nos exercícios 11 e 12, (a) expresse , e como funções de e usando a Regra da Cadeia e também expressando diretamente em termos de e antes de diferenciar. Então calcule e no ponto dado .
;
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25.
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Resolver o exercício 31 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.3, página 180.
(31) (a) Use a Regra do Quociente para derivar a função
(b) Simplifique a expressão para , escrevendo-a em termos de e , e, então, encontre .
© Mostre que suas respostas para as partes (a) e (b) são equivalentes.
Resposta: a.