Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty (x-3)^n2^n cdot raizn

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (x-3)^n2^n cdot raizn
Vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se o limite
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.

Passo 3

No nosso caso, | an+1an | = | (x-3)^n+12^n+1 cdot raizn+1 cdot 2^n cdot raizn(x-3)^n | = | (x-3)2 cdot raiznn+1 | . Vamos calcular a razão :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (x-3)2 cdot raiznn+1 | = | (x-3)2 | cdot limn to infty raiznn+1 = | (x-3)2 | cdot 1 = | (x-3)2 | tende ao infinito:

Passo 5

Para a série convergir, precisamos que | (x-3)2 | < 1 :
|x - 3| < 2
Isso significa que:

Passo 6

Agora, vamos resolver essa desigualdade:
-2 < x - 3 < 2
Adicionando 3 em todas as partes:
1 < x < 5
Então, o intervalo de convergência está entre e .

Passo 7

O raio de convergência R = 42 = 2 é metade do comprimento do intervalo de convergência. Como , então:

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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