Verifique que as funções
y1 = raiz(25 - x^2) e y2 = -raiz(25 - x^2)
são soluções de y' = -x / y no intervalo -5,5. Explique por que a função
y = { raiz(25 - x^2), -5 < x < 0; -raiz(25 - x^2), 0 <= x < 5 }
não é uma solução desta mesma equação neste mesmo intervalo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos duas funções, e , e a gente precisa verificar se elas são soluções da equação diferencial no intervalo de entre -5 e 5. Além disso, tem uma função que é definida por partes, e a gente tem que explicar por que ela não é uma solução dessa mesma equação no mesmo intervalo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada das funções e ver se elas satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma solução de uma equação diferencial. Basicamente, se a gente pegar a função dada, calcular sua derivada e substituir na equação diferencial, a igualdade precisa ser verdadeira em todo o intervalo considerado. Então, vamos começar calculando a derivada de .

Passo 3

A função . Para encontrar a derivada , vamos usar a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de .

Passo 4

Agora, vamos verificar se satisfaz a equação diferencial . Substituindo por :
Viu só? A igualdade é verdadeira, então é realmente uma solução da equação diferencial no intervalo dado.

Passo 5

Agora vamos fazer a mesma coisa com . Calculando a derivada :

Passo 6

Substituindo por na equação diferencial:
Novamente, a igualdade se mantém verdadeira, então também é uma solução da equação diferencial no intervalo de -5 a 5.

Passo 7

Agora vamos analisar a função definida por partes:
Para que essa função seja uma solução da equação diferencial em todo o intervalo, ela precisa ser diferenciável em todos os pontos do intervalo, incluindo . Vamos ver o que acontece em .

Passo 8

Calculando os limites da derivada à esquerda e à direita de :
Para se aproximando de 0 pela esquerda:
Para se aproximando de 0 pela direita:
Embora os limites pareçam iguais, a função não é diferenciável em porque há uma mudança abrupta na derivada, ou seja, a derivada não é contínua nesse ponto. Isso faz com que a função definida por partes não seja uma solução da equação diferencial em todo o intervalo.

Resposta

As funções e satisfazem a equação diferencial no intervalo , mas a função definida por partes não é uma solução nesse intervalo porque não é diferenciável em .

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