Verifique que as funções
são soluções de
no intervalo
. Explique por que a função
não é uma solução desta mesma equação neste mesmo intervalo.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos duas funções,
e
, e a gente precisa verificar se elas são soluções da equação diferencial
no intervalo de
entre -5 e 5. Além disso, tem uma função que é definida por partes, e a gente tem que explicar por que ela não é uma solução dessa mesma equação no mesmo intervalo. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada das funções e ver se elas satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa ser uma solução de uma equação diferencial. Basicamente, se a gente pegar a função dada, calcular sua derivada e substituir na equação diferencial, a igualdade precisa ser verdadeira em todo o intervalo considerado. Então, vamos começar calculando a derivada de
.
Passo 3
A função
. Para encontrar a derivada
, vamos usar a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
satisfaz a equação diferencial
. Substituindo
por
:
Viu só? A igualdade é verdadeira, então
é realmente uma solução da equação diferencial no intervalo dado.
Passo 5
Agora vamos fazer a mesma coisa com
. Calculando a derivada
:
Passo 6
Substituindo
por
na equação diferencial:
Novamente, a igualdade se mantém verdadeira, então
também é uma solução da equação diferencial no intervalo de -5 a 5.
Passo 7
Agora vamos analisar a função definida por partes:
Para que essa função seja uma solução da equação diferencial em todo o intervalo, ela precisa ser diferenciável em todos os pontos do intervalo, incluindo
. Vamos ver o que acontece em
.
Passo 8
Calculando os limites da derivada à esquerda e à direita de
:
Para
se aproximando de 0 pela esquerda:
Para
se aproximando de 0 pela direita:
Embora os limites pareçam iguais, a função
não é diferenciável em
porque há uma mudança abrupta na derivada, ou seja, a derivada não é contínua nesse ponto. Isso faz com que a função definida por partes não seja uma solução da equação diferencial em todo o intervalo.
Resposta
As funções
e
satisfazem a equação diferencial
no intervalo
, mas a função definida por partes não é uma solução nesse intervalo porque não é diferenciável em
.