(0.7 pontos) (b) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3 de f(x) = e^(2x - 1) em a = 1/2, e use-o para aproximar o valor de e^0.2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função no ponto . O objetivo é usar esse polinômio para aproximar o valor de . Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem, avaliá-las em e montar o polinômio de Taylor. Vamos aprender um pouco sobre como os polinômios de Taylor funcionam enquanto resolvemos!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau 3 para uma função em torno de é dado por:
Isso significa que precisamos calcular , , e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com esses valores, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Simplificando:

Passo 6

Agora, queremos aproximar . Sabemos que , então para , temos:
Portanto, está a de .
Vamos substituir no polinômio:
Calculando cada termo:

Resposta

Aproximando, temos:

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