(0.7 pontos) (b) Encontre o polinômio de Taylor de grau 3 de
em
, e use-o para aproximar o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o polinômio de Taylor de grau 3 para a função
no ponto
. O objetivo é usar esse polinômio para aproximar o valor de
. Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas da função até a terceira ordem, avaliá-las em
e montar o polinômio de Taylor. Vamos aprender um pouco sobre como os polinômios de Taylor funcionam enquanto resolvemos!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o polinômio de Taylor de grau 3 para uma função
em torno de
é dado por:
Isso significa que precisamos calcular
,
,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com esses valores, vamos montar o polinômio de Taylor de grau 3:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos aproximar
. Sabemos que
, então para
, temos:
Portanto,
está a
de
.
Vamos substituir
no polinômio:
Calculando cada termo:
Resposta
Aproximando, temos: