Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1. Isso envolve conhecimentos de séries de potências e testes de convergência, especialmente o Teste da Razão. Vamos precisar aplicar esse teste para descobrir até onde a série “funciona”, ou seja, para quais valores de ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar os cálculos. Observe que podemos reescrever a série da seguinte forma:
sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1 = 13 sumn=0^infty n ( x+23 )^n
Aqui, puxamos o para fora da soma, facilitando a aplicação do Teste da Razão.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma ferramenta poderosa para determinar o raio de convergência de séries de potências. O teste diz que para a série , o limite nos ajuda a decidir:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular esse limite para nossa série.

Passo 4

Vamos definir an+1an = (n+1)(x+2)^n+13^n+2 times 3^n+1n(x+2)^n = (n+1)(x+2)3n . Então, temos:
| an+1an | = | (n+1)(x+2)3n | = | x+23 | times (1 + 1n)
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | x+23 | times (1 + 1n) = | x+23 | times 1 = | x+23 | tende ao infinito:
| x+23 | < 1
Para a série convergir, precisamos que :

Passo 6

Vamos resolver essa inequação para encontrar o intervalo de convergência:
| x+23 | < 1 implies -1 < x+23 < 1
Multiplicando todos os termos por 3:
-3 < x + 2 < 3
Subtraindo 2 de todos os lados:
-5 < x < 1
Então, o intervalo preliminar de convergência é .

Passo 7

Para determinar se os pontos finais sumn=0^infty n(-5+2)^n3^n+1 = sumn=0^infty n(-3)^n3^n+1 = sumn=0^infty n(-1)^n3 e sumn=0^infty n(1+2)^n3^n+1 = sumn=0^infty n(3)^n3^n+1 = sumn=0^infty n3 pertencem ao intervalo de convergência, precisamos verificar a convergência da série nesses valores.
Para :
Substituindo na série:
Essa série é alternativa e o termo geral não tende a zero quando cresce, logo, a série diverge.
Para :
Substituindo na série:
Essa é uma série divergente, pois os termos não tendem a zero.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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