Suponha que sumn=0^infty cn(x)^n convirja quando x=-10 e divirja quando x=12. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a. sumn=0^infty cn
b. sumn=0^infty cn 8^n
c. sumn=0^infty(-1)^n cn(11)^n
d. sumn=0^infty(-1)^n cn(13)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma série de potências da forma sumn=0^infty cnx^n. Sabemos que essa série converge quando x = -10 e diverge quando x = 12. Nosso objetivo é analisar a convergência ou divergência de outras séries relacionadas usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender sobre raio de convergência e como ele determina onde a série original converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência ( R) de uma série de potências sum cn x^n é o valor tal que a série converge para todos os x com |x| < R e diverge para |x| > R. Nos pontos onde |x| = R, a série pode convergir ou divergir, dependendo do caso.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que a série converge quando x = -10 e diverge quando x = 12. Isso nos dá uma ideia de que o raio de convergência está entre 10 e 12. Como a série converge em x = -10, isso significa que R >= 10. E como diverge em x = 12, temos que R < 12. Portanto, o raio de convergência R satisfaz 10 <= R < 12.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada uma das séries propostas:
a. sumn=0^infty cn
Aqui, x = 1 porque é como se tivéssemos x = 1 na série original sum cn x^n. Precisamos verificar se |1| < R ou |1| > R.
Sabemos que R >= 10, então 1 < 10 <= R. Isso significa que |1| < R, e portanto, a série converge.

Passo 5

b. sumn=0^infty cn 8^n
Aqui, x = 8. Vamos verificar se |8| < R ou |8| > R.
Como R >= 10, então 8 < 10 <= R. Logo, |8| < R, e a série converge.

Passo 6

c. sumn=0^infty (-1)^n cn (11)^n
Essa série tem x = -11 (porque (-1)^n x^n = (-1)^n (11)^n = (-11)^n). Vamos verificar | -11 | = 11.
Sabemos que 10 <= R < 12. Portanto, 11 está dentro desse intervalo, já que 11 < 12 e 11 > 10. Isso significa que |x| = 11 < R, então a série converge.

Passo 7

d. sumn=0^infty (-1)^n cn (13)^n
Aqui, x = -13. Vamos verificar | -13 | = 13.
Sabemos que R < 12, então 13 > 12 > R. Isso significa que |x| = 13 > R, e assim a série diverge.

Resposta

a. Converge
b. Converge
c. Converge
d. Diverge

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