Suponha que
convirja quando
e divirja quando
. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma série de potências da forma
. Sabemos que essa série converge quando
e diverge quando
. Nosso objetivo é analisar a convergência ou divergência de outras séries relacionadas usando essas informações. Para isso, vamos precisar entender sobre raio de convergência e como ele determina onde a série original converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o raio de convergência (
) de uma série de potências
é o valor tal que a série converge para todos os
com
e diverge para
. Nos pontos onde
, a série pode convergir ou divergir, dependendo do caso.
Passo 3
No nosso caso, sabemos que a série converge quando
e diverge quando
. Isso nos dá uma ideia de que o raio de convergência está entre 10 e 12. Como a série converge em
, isso significa que
. E como diverge em
, temos que
. Portanto, o raio de convergência
satisfaz
.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada uma das séries propostas:
a.
Aqui,
porque é como se tivéssemos
na série original
. Precisamos verificar se
ou
.
Sabemos que
, então
. Isso significa que
, e portanto, a série converge.
Passo 5
b.
Aqui,
. Vamos verificar se
ou
.
Como
, então
. Logo,
, e a série converge.
Passo 6
c.
Essa série tem
(porque
). Vamos verificar
.
Sabemos que
. Portanto,
está dentro desse intervalo, já que
e
. Isso significa que
, então a série converge.
Passo 7
d.
Aqui,
. Vamos verificar
.
Sabemos que
, então
. Isso significa que
, e assim a série diverge.
Resposta
a. Converge
b. Converge
c. Converge
d. Diverge
b. Converge
c. Converge
d. Diverge