O fato de
ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?
a.
b.
a.
b.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que fala sobre séries infinitas. A primeira parte diz que a série
é convergente. A pergunta é: isso implica que as séries a seguir também são convergentes?
a.
b.
a.
b.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série ser convergente e como podemos comparar séries diferentes para ver se elas convergem ou não.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente. Uma série
é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando n vai para infinito. Caso contrário, dizemos que a série é divergente.
No nosso caso, sabemos que
converge. Isso nos dá informações sobre os termos
quando multiplicados por
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série a:
.
Perceba que
é igual a
. Então, podemos reescrever a série como
.
A série original que sabemos que converge é
. Podemos notar que
é menor que
para todo n ≥ 1, porque
, então
.
Passo 4
Para comparar as duas séries, vamos olhar para os termos:
Enquanto que para a série original:
Como
para todo n ≥ 1, temos que
.
Passo 5
Agora, usando o Teste da Comparação, se uma série
converge e
para todo n, então a série
também converge.
No nosso caso, sabemos que
converge (já que
converge), e
. Portanto, pela comparação, a série
também converge.
Isso implica que
converge absolutamente, logo, converge.
Passo 6
Agora, vamos para a série b:
.
Aqui, temos
, então a série fica
.
Passo 7
Vamos analisar os termos em módulo:
Comparando com a série original
, percebemos que os termos são iguais.
Isso significa que se
converge, então
também converge.
Passo 8
No entanto, como a série original
é convergente, sabemos que
também converge (já que convergência implica convergência absoluta nesse caso).
Portanto, pela mesma lógica do teste da comparação, a série
converge absolutamente, logo, converge.
Resposta
Ambas as séries
e
são convergentes.