O fato de sumn=1^infty cn(4)^n ser convergente implica que as séries a seguir são convergentes?
a. sumn=1^infty cn(-2)^n
b. sumn=1^infty cn(-4)^n

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que fala sobre séries infinitas. A primeira parte diz que a série é convergente. A pergunta é: isso implica que as séries a seguir também são convergentes?
a.
b.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma série ser convergente e como podemos comparar séries diferentes para ver se elas convergem ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente. Uma série é convergente se a soma dos seus termos tende a um número finito quando n vai para infinito. Caso contrário, dizemos que a série é divergente.
No nosso caso, sabemos que converge. Isso nos dá informações sobre os termos quando multiplicados por .

Passo 3

Agora, vamos analisar a série a: .
Perceba que é igual a . Então, podemos reescrever a série como .
A série original que sabemos que converge é . Podemos notar que é menor que para todo n ≥ 1, porque , então .

Passo 4

Para comparar as duas séries, vamos olhar para os termos:
|cn (-2)^n| = |cn| cdot 2^n
Enquanto que para a série original:
|cn 4^n| = |cn| cdot 4^n
Como para todo n ≥ 1, temos que .

Passo 5

Agora, usando o Teste da Comparação, se uma série converge e para todo n, então a série também converge.
No nosso caso, sabemos que converge (já que converge), e . Portanto, pela comparação, a série também converge.
Isso implica que converge absolutamente, logo, converge.

Passo 6

Agora, vamos para a série b: .
Aqui, temos , então a série fica .

Passo 7

Vamos analisar os termos em módulo:
|cn (-4)^n| = |cn| cdot 4^n
Comparando com a série original , percebemos que os termos são iguais.
Isso significa que se converge, então também converge.

Passo 8

No entanto, como a série original é convergente, sabemos que também converge (já que convergência implica convergência absoluta nesse caso).
Portanto, pela mesma lógica do teste da comparação, a série converge absolutamente, logo, converge.

Resposta

Ambas as séries e são convergentes.

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