Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência. f(x)=1x+10

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir para quais valores de essa série funciona. Isso vai envolver a matéria de séries de potências, especificamente a série geométrica. Vamos precisar mexer um pouco com a fórmula da série geométrica e ver quando ela dá certo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(x) = 1x + 10 = 110 (1 + x10) = 110 cdot 11 + x10 de um jeito que fique parecida com a forma da série geométrica, que é . A gente pode fazer isso assim:
Agora, a função ficou parecida com , onde .

Passo 3

Lembra da série geométrica? Ela é dada por:
11 - r = sumn=0^infty r^n
Mas essa série só converge, ou seja, só dá um resultado finito, quando . Isso é importante para saber até onde a gente pode usar essa série.

Passo 4

Agora, voltando à nossa função:
f(x) = 110 cdot 11 - (-x10) = 110 sumn=0^infty (-x10)^n
Então, a representação em série de potências para f(x) = 110 sumn=0^infty (-x10)^n é:

Passo 5

Agora, vamos achar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando | -x10 | < 1 implies |x|10 < 1 implies |x| < 10 . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série funciona para entre -10 e 10.

Resposta

A representação em série de potências para a função f(x) = 110 sumn=0^infty (-x10)^n é:
E o intervalo de convergência dessa série é para todos os tais que .

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