Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar uma representação em série de potências para a função e descobrir para quais valores de essa série funciona. Isso vai envolver a matéria de séries de potências, especificamente a série geométrica. Vamos precisar mexer um pouco com a fórmula da série geométrica e ver quando ela dá certo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de um jeito que fique parecida com a forma da série geométrica, que é . A gente pode fazer isso assim:
Agora, a função ficou parecida com , onde .
Passo 3
Lembra da série geométrica? Ela é dada por:
Mas essa série só converge, ou seja, só dá um resultado finito, quando . Isso é importante para saber até onde a gente pode usar essa série.
Passo 4
Agora, voltando à nossa função:
Então, a representação em série de potências para é:
Passo 5
Agora, vamos achar o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Isso significa que a série funciona para entre -10 e 10.
Resposta
A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é para todos os tais que .