Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (x+3)^nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: . A missão é encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série “funciona” sem divergir. Então, vamos aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que se o limite an+1an = (x+3)^n+1n+1(x+3)^nn = (x+3)^n+1 cdot n(x+3)^n cdot (n+1) = (x+3) cdot nn+1 for menor que 1, a série converge. Aqui, . Então, vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite desse quociente quando limn to infty | (x+3) cdot nn+1 | = limn to infty |x+3| cdot nn+1 = |x+3| cdot limn to infty nn+1 = |x+3| cdot 1 = |x+3| tende ao infinito:

Passo 4

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x+3| < 1
Isso significa que o valor absoluto de -1 < x + 3 < 1 deve ser menor que 1. Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de -4 < x < -2 :
Subtraindo 3 em todas as partes:

Passo 5

O intervalo que encontramos é sumn=1^infty (-4 + 3)^nn = sumn=1^infty (-1)^nn , mas precisamos verificar os pontos extremos sumn=1^infty (-2 + 3)^nn = sumn=1^infty 1^nn = sumn=1^infty 1n e para ver se a série converge nesses valores.
  • Para :
Essa é a série alternada , que converge pelo Teste da Série Alternada.
  • Para :
Essa é a Série Harmônica, que diverge.

Passo 6

Juntando tudo, o raio de convergência é 1 (pois ) e o intervalo de convergência é . Ou seja, a série converge para todos os entre -4 e -2, incluindo mas excluindo .

Resposta

O raio de convergência é 1 e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados