Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa desenhar a região onde as curvas
,
e
se encontram e calcular a área desse espaço. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no gráfico, encontrar os pontos onde elas se cruzam e usar um pouquinho de cálculo para achar a área. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a curva
se encontra com
. Para isso, igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar a fração:
Resolvendo para
, temos:
Agora, substituímos
na equação
:
Então, um ponto de interseção é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar onde
se cruza com
. Igualando as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por
:
Assim, temos:
Substituindo
na equação
:
Portanto, outro ponto de interseção é
.
Passo 4
Vamos também verificar onde as retas
e
se encontram. Igualando as duas:
Subtraindo
de ambos os lados:
Isso nos dá:
Substituindo
em
:
Então, o terceiro ponto de interseção é
.
Passo 5
Com esses pontos de interseção
,
e
, vamos esboçar as curvas:
-
: É uma curva que tende ao infinito quando se aproxima de zero e diminui conforme aumenta. -
: É uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus. -
: É uma linha reta mais suave também passando pela origem.
A região delimitada fica entre
e
, onde as curvas se cruzam. Esse espaço é o nosso foco para calcular a área.
Passo 6
Para achar a área dessa região, vamos dividir em duas partes:
- De
a : Entre e . - De
a : Entre e .
Vamos usar a fórmula da área entre curvas:
Primeira parte (de 1 a 2):
Integrando:
Como área não pode ser negativa, vamos considerar o valor absoluto:
Segunda parte (de 0 a 1):
Essa integral é imprópria porque
tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Calculando:
Veja que
tende ao infinito quando
se aproxima de 0, o que implica que a área
é infinita.
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é infinita, pois a função
cresce sem limites à medida que
se aproxima de zero, fazendo com que a área nessa região seja ilimitada.
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é um número positivo, então
é um número positivo.
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convirja quando
e divirja quando
. O que pode ser dito sobre a convergência ou divergência das séries a seguir?
a.
b.
c.
d.
a.
b.
c.
d.