Esboce a região limitada pelas curvas indicadas e encontre sua área: y = 1/x^2 ; y = x ; y = x/8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa desenhar a região onde as curvas , e se encontram e calcular a área desse espaço. Para isso, vamos precisar entender como essas curvas se comportam no gráfico, encontrar os pontos onde elas se cruzam e usar um pouquinho de cálculo para achar a área. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a curva se encontra com . Para isso, igualamos as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar a fração:
Resolvendo para , temos:
Agora, substituímos na equação :
Então, um ponto de interseção é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar onde se cruza com . Igualando as duas equações:
Multiplicando ambos os lados por :
Assim, temos:
Substituindo na equação :
Portanto, outro ponto de interseção é .

Passo 4

Vamos também verificar onde as retas e se encontram. Igualando as duas:
Subtraindo de ambos os lados:
Isso nos dá:
Substituindo em :
Então, o terceiro ponto de interseção é .

Passo 5

Com esses pontos de interseção , e , vamos esboçar as curvas:
  • : É uma curva que tende ao infinito quando se aproxima de zero e diminui conforme aumenta.
  • : É uma linha reta que passa pela origem com inclinação de 45 graus.
  • : É uma linha reta mais suave também passando pela origem.
A região delimitada fica entre e , onde as curvas se cruzam. Esse espaço é o nosso foco para calcular a área.

Passo 6

Para achar a área dessa região, vamos dividir em duas partes:
  1. De a : Entre e .
  2. De a : Entre e .
Vamos usar a fórmula da área entre curvas:
Á
Primeira parte (de 1 a 2):
Á
Integrando:
Á
Como área não pode ser negativa, vamos considerar o valor absoluto:
Á
Segunda parte (de 0 a 1):
Á
Essa integral é imprópria porque tende ao infinito quando se aproxima de 0. Calculando:
Á
Veja que tende ao infinito quando se aproxima de 0, o que implica que a área Á é infinita.

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é infinita, pois a função cresce sem limites à medida que se aproxima de zero, fazendo com que a área nessa região seja ilimitada.

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