Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por:
, em torno da reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas curvas dadas por
e
. Queremos encontrar o volume do sólido formado pela rotação da área limitada por essas curvas em torno da reta
. Vamos usar o método da casca cilíndrica, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Antes de mais nada, precisamos descobrir onde as duas curvas se intersectam para definir os limites de integração. Vamos igualar as duas expressões:
Simplificando:
Então, as interseções ocorrem em
e
. Esses serão os limites de integração.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o método da casca cilíndrica. Esse método considera uma casca vertical em uma posição
, cuja altura é a diferença entre as duas funções
.
A distância dessa casca até o eixo de rotação
é o raio
.
Passo 4
O volume de cada casca cilíndrica é dado por:
Para encontrar o volume total, integramos essa expressão de
a
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliando de
a
:
Resposta
Portanto, o volume do sólido gerado é:
Exercícios relacionados
Esboce a região
e encontre sua área:
Nos problemas de 1 à 4 , encontre a soluqão geral do EDO:
Responda se são falsas ou verdadeiras as afirmações abaixo. Justifique as afirmativas verdadeiras e dê exemplos para mostrar que as afirmativas falsas foram erroneamente deduzidas.Se
é um número positivo, então
é um número positivo.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.