Utilize o método da casca cilíndrica para determinar o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por: , em torno da reta .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos duas curvas dadas por e . Queremos encontrar o volume do sólido formado pela rotação da área limitada por essas curvas em torno da reta . Vamos usar o método da casca cilíndrica, que é uma técnica de cálculo usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos descobrir onde as duas curvas se intersectam para definir os limites de integração. Vamos igualar as duas expressões:
Simplificando:
Então, as interseções ocorrem em e . Esses serão os limites de integração.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o método da casca cilíndrica. Esse método considera uma casca vertical em uma posição , cuja altura é a diferença entre as duas funções .
A distância dessa casca até o eixo de rotação é o raio .

Passo 4

O volume de cada casca cilíndrica é dado por:
Para encontrar o volume total, integramos essa expressão de a :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliando de a :

Resposta

Portanto, o volume do sólido gerado é:
ú

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