Encontre o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty((n!)^22^n(2 n!) x^n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita e precisamos descobrir qual é o raio de convergência dela, além de identificar o intervalo onde ela realmente converge. A matéria envolvida aqui é sobre séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge olhando para o limite da razão entre termos consecutivos quando sumn=1^infty((n!)^22^n(2n!) x^n) cresce para o infinito.
Nossa série é:
an = (n!)^22^n(2n!) x^n
Vamos chamar o termo geral de :

Passo 3

Agora, vamos calcular a razão entre an+1an = ((n+1)!)^22^n+1(2(n+1))! x^n+1(n!)^22^n(2n!) x^n e an+1an = (n+1)^22(2n+2)(2n+1) cdot |x| :
Simplificando:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
an+1an = (n+1)^24n^2 + 6n + 2 cdot |x|
Quando limn to infty (n+1)^24n^2 cdot |x| = 14 |x| vai para o infinito, os termos de menor ordem desaparecem, então a expressão fica:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
14 |x| < 1 Rightarrow |x| < 4
Então, o raio de convergência é 4.

Passo 6

Agora, para encontrar o intervalo de convergência, sabemos que a série converge para todos os (-4, 4) tais que . Isso significa que o intervalo é:
Não precisamos verificar as extremidades e nesse caso, já que o problema pediu apenas o intervalo de convergência baseado no raio encontrado.

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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