Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma série infinita e precisamos descobrir qual é o raio de convergência dela, além de identificar o intervalo onde ela realmente converge. A matéria envolvida aqui é sobre séries de potências e vamos usar o Teste da Razão para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge olhando para o limite da razão entre termos consecutivos quando
cresce para o infinito.
Nossa série é:
Vamos chamar o termo geral de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a razão entre
e
:
Simplificando:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão:
Quando
vai para o infinito, os termos de menor ordem desaparecem, então a expressão fica:
Passo 5
De acordo com o Teste da Razão, a série converge se esse limite for menor que 1:
Então, o raio de convergência
é 4.
Passo 6
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, sabemos que a série converge para todos os
tais que
. Isso significa que o intervalo é:
Não precisamos verificar as extremidades
e
nesse caso, já que o problema pediu apenas o intervalo de convergência baseado no raio encontrado.
Resposta
O raio de convergência da série é
e o intervalo de convergência é
.
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