Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral d xraiz(4+x^2)^5

Passo 1

Vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Isso significa que vamos substituir a expressão por uma função trigonométrica para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição trigonométrica adequada. Como temos x = 2 tantheta , podemos usar a identidade . Para isso, vamos definir:
Dessa forma, .

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = 2 sec^2theta , dtheta . Derivando integral dxraiz(4 + x^2)^5 = integral 2 sec^2theta , dthetaraiz(4sec^2theta)^5 em relação a :
Substituindo na integral original:

Passo 4

Simplificamos o denominador:
raiz(4sec^2theta)^5 = raiz4^5 sec^10theta = 4^5/2 sec^5theta = 32 sec^5theta
Então, a integral fica:
integral 2 sec^2theta , dtheta32 sec^5theta = integral 232 cdot sec^-3theta , dtheta = 116 integral cos^3theta , dtheta

Passo 5

Para resolver integral cos^3theta , dtheta = integral (1 - u^2) , du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C , usamos a identidade 116 ( sintheta - sin^3theta3 ) + C e fazemos a substituição , :
Substituindo de volta na integral original:

Passo 6

Lembrando que sintheta = xraiz4 + x^2 , podemos expressar sin^3theta = ( xraiz4 + x^2 )^3 = x^3(4 + x^2)^3/2 em termos de 116 ( xraiz4 + x^2 - x^33 (4 + x^2)^3/2 ) + C :
E:
Substituindo esses valores na expressão:

Resposta

A integral é igual a
116 ( xraiz4 + x^2 - x^33 (4 + x^2)^3/2 ) + C

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