Encontre o raio e o intervalo de convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Para fazer isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar quando a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o Teste da Raiz. Esse teste diz que para uma série da forma , a série converge se:
E diverge se o limite for maior que . O valor de , onde é o limite, é o raio de convergência.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série. Aqui, . Agora, aplicamos o Teste da Raiz:
Passo 4
Vamos calcular o limite:
limn to infty nn+1 = limn to infty 11 + 1n = 11 + 0 = 1
Então, .
Passo 5
Agora que encontramos R = 1L = 11 = 1 , usamos a fórmula do raio de convergência:
Então, o raio de convergência é 1.
Passo 6
Com o raio de convergência -1 < x < 1 , o intervalo de convergência é , ou seja:
Resposta
O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .