Encontre o raio e o intervalo de convergência da série sumn=1^infty(nn+1)^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Para fazer isso, vamos usar o Teste da Raiz, que nos ajuda a determinar quando a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o Teste da Raiz. Esse teste diz que para uma série da forma limn to infty raiz[n]|an| < 1|x| , a série converge se:
E diverge se o limite for maior que . O valor de , onde é o limite, é o raio de convergência.

Passo 3

Vamos identificar L = limn to infty raiz[n]|(nn+1)^n| = limn to infty nn+1 na nossa série. Aqui, . Agora, aplicamos o Teste da Raiz:

Passo 4

Vamos calcular o limite:
limn to infty nn+1 = limn to infty 11 + 1n = 11 + 0 = 1
Então, .

Passo 5

Agora que encontramos R = 1L = 11 = 1 , usamos a fórmula do raio de convergência:
Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Com o raio de convergência -1 < x < 1 , o intervalo de convergência é , ou seja:

Resposta

O raio de convergência da série é e o intervalo de convergência é .

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