Encontre a) o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge b)absolutamente e c) condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio e o intervalo de convergência da série . Isso faz parte do estudo de séries de potências, que é uma área importante no cálculo. Para resolver isso, vamos usar o teste da razão, que nos ajuda a descobrir onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o teste da razão. Esse teste nos diz que para a série , se , então:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, . Então, vamos calcular:
Passo 3
De acordo com o teste da razão, a série converge se e diverge se . Portanto, o raio de convergência é 1.
Agora, para encontrar o intervalo de convergência, precisamos verificar o que acontece quando , ou seja, quando e .
Passo 4
Vamos testar sumn=1^infty 1^n = sumn=1^infty 1 :
sumn=1^infty (-1)^n = -1 + 1 - 1 + 1 - dots
Essa série é uma soma infinita de 1’s, que claramente diverge.
Agora, vamos testar :
Essa é a série alternada que não converge, já que seus termos não se aproximam de zero.
Passo 5
Então, o intervalo de convergência é .
Passo 6
Agora, vamos analisar a convergência absoluta e condicional.
Convergência absoluta ocorre quando a série converge. Para , temos , então também converge.
Convergência condicional ocorreria se a série original convergisse, mas não. No nosso caso, isso não acontece porque sempre que a série converge, ela também converge absolutamente.
Resposta
a) O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .
b) A série converge absolutamente para todos os valores de tais que .
c) A série não possui convergência condicional.