Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para integrar funções que envolvem expressões quadráticas. Para isso, precisamos completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador
. Para isso:
Isso simplifica a expressão e facilita a substituição trigonométrica.
Passo 3
Agora, vamos fazer a substituição
, o que implica que
. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
Passo 5
Resolvendo a primeira integral
, fazemos a substituição
, então
. Assim:
Passo 6
Agora, resolvemos a segunda integral
. Essa é uma integral padrão que usamos a fórmula:
Aqui,
, então:
Passo 7
Juntando as duas partes da integral, temos:
Passo 8
Finalmente, voltamos para a variável original
substituindo
:
Resposta
A integral de
em relação a
é:
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) ou não racional (
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