Resolva as integrais usando substituição trigonométrica:
integral (2 x+3)(x^2+2 x+10)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica para integrar funções que envolvem expressões quadráticas. Para isso, precisamos completar o quadrado no denominador e fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + 2x + 10 = (x + 1)^2 + 9 . Para isso:
Isso simplifica a expressão e facilita a substituição trigonométrica.

Passo 3

Agora, vamos fazer a substituição integral 2x + 3(x^2 + 2x + 10)^2 , dx = integral 2(u - 1) + 3(u^2 + 9)^2 , du = integral 2u + 1(u^2 + 9)^2 , du , o que implica que . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Vamos dividir a integral em duas partes para facilitar a resolução:
integral 2u + 1(u^2 + 9)^2 , du = 2 integral u(u^2 + 9)^2 , du + integral 1(u^2 + 9)^2 , du

Passo 5

Resolvendo a primeira integral 2 integral u(u^2 + 9)^2 , du = integral dvv^2 = -1v + C = -1u^2 + 9 + C , fazemos a substituição , então . Assim:

Passo 6

Agora, resolvemos a segunda integral integral 1(u^2 + a^2)^2 , du = u2a^2(u^2 + a^2) + 12a^3 arctan(ua) + C . Essa é uma integral padrão que usamos a fórmula:
integral 1(u^2 + 9)^2 , du = u18(u^2 + 9) + 154 arctan(u3) + C
Aqui, , então:

Passo 7

Juntando as duas partes da integral, temos:
-1u^2 + 9 + u18(u^2 + 9) + 154 arctan(u3) + C

Passo 8

Finalmente, voltamos para a variável original -1(x + 1)^2 + 9 + x + 118((x + 1)^2 + 9) + 154 arctan(x + 13) + C substituindo :

Resposta

A integral de -1(x + 1)^2 + 9 + x + 118((x + 1)^2 + 9) + 154 arctan(x + 13) + C em relação a é:

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