Explique, utilizando propriedades da continuidade e funções elementares, por que a função é contínua em todo seu domínio. Diga qual é o domínio.
(a)
Passo 1
Primeiramente, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos explicar, usando propriedades de continuidade e funções elementares, por que essa função é contínua em todo o seu domínio. Além disso, devemos determinar qual é esse domínio. Para fazer isso, vamos precisar conhecer os conceitos de continuidade de funções e domínio de uma função racional.
Passo 2
Vamos começar identificando o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de funções racionais, como , a função está indefinida quando o denominador é igual a zero, pois a divisão por zero não é permitida.
Passo 3
Então, para encontrar o domínio de , precisamos resolver a equação . Vamos fatorar o denominador:
Passo 4
Agora, igualamos cada fator a zero para encontrar os valores de que tornam o denominador zero:
Passo 5
Portanto, a função está indefinida para e . Isso significa que esses valores devem ser excluídos do domínio da função.
Passo 6
Assim, o domínio de é todos os números reais exceto e . Em notação matemática, podemos escrever:
Passo 7
Agora, vamos falar sobre a continuidade da função. Uma função é contínua em seu domínio se não houver quebras, saltos ou assíntotas dentro desse domínio. As funções racionais são contínuas em todos os pontos onde estão definidas, ou seja, em todo o seu domínio.
Passo 8
No caso da nossa função , já identificamos que ela está definida para todos os números reais, exceto e . Em cada ponto onde a função está definida, ela é contínua porque é o quociente de duas funções polinomiais (o numerador e o denominador ), que são contínuas em todo o seu domínio.
Resposta
Portanto, a função é contínua em todo o seu domínio, que é .