Encontre todas as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das curvas a seguir, justificando seu cálculo com o respectivo limite.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva . Para isso, vamos usar conceitos de limites que nos ajudam a identificar o comportamento da função em diferentes pontos, tanto em valores grandes de quanto onde o denominador da fração se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem nos valores de que fazem o denominador da fração ser zero, mas que não cancelam com o numerador. Então, vamos encontrar onde .
Resolvendo a equação quadrática:
Podemos fatorar:
Assim, as soluções são e . Agora, precisamos verificar se essas raízes cancelam com o numerador .
Fatorando o numerador:
Observamos que é um fator comum, então cancela:
Portanto, é uma raiz que foi cancelada, mas permanece como uma assíntota vertical.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para isso, analisamos o limite de quando tende ao infinito e a menos infinito.
A função é:
Primeiro, calculamos o limite quando :
Como o limite é infinito, não há assíntota horizontal quando .
Agora, calculamos o limite quando :
Portanto, há uma assíntota horizontal em quando tende a menos infinito.
Resposta
A curva possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .