Encontre a raiz da função, através de 3 dos 5 métodos vistos, considerar 4 casas após a virgula e truncamento. Caso escolha o método da bissecção e/ou método da falsa posição realize no máximo 6 iterações. I=[1 ; 2],|f(x k)|<0,01
f(x)=x^3-x-1

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem que encontrar a raiz da função no intervalo . A raiz é o valor de que faz . Para isso, vamos usar três métodos diferentes que estudamos: Método da Bissecção, Método da Newton-Raphson e Método da Secante. Vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar eles passo a passo. Além disso, vamos truncar os resultados em 4 casas decimais e, para os métodos da Bissecção e Falsa Posição, limitar a até 6 iterações.

Passo 2

Método da Bissecção:
Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e escolhendo o subintervalo onde a mudança de sinal acontece, ou seja, onde a função passa de positiva para negativa ou vice-versa. A gente começa com e .
  1. Calcula o ponto médio: .
  2. Avalia .
  3. Verifica o sinal de :
    • Se , a raiz está no intervalo .
    • Caso contrário, está em .
  4. Repete o processo até que ou atinja 6 iterações.
Vamos aplicar:
Iteração 1:
  • ,
  • Como e têm sinais opostos, nova
Iteração 2:
  • ,
  • Sinais opostos entre e , nova
Iteração 3:
  • ,
  • Sinais opostos entre e , nova
Iteração 4:
  • ,
  • Sinais opostos entre e , nova
Iteração 5:
  • ,
  • Sinais opostos entre e , nova
Iteração 6:
  • ,
  • Já que não atingiu, mas atingimos 6 iterações.
Resultado do Método da Bissecção:

Passo 3

Método da Newton-Raphson:
Esse método usa derivadas para aproximar a raiz. A fórmula é:
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk)
Primeiro, encontramos a derivada de f'(x) = 3x^2 - 1 :
Vamos escolher um chute inicial, vamos usar .
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
  • Como , paramos aqui.
Resultado do Método da Newton-Raphson:

Passo 4

Método da Secante:
Esse método é parecido com o Newton-Raphson, mas não usa derivadas. Em vez disso, usa dois pontos para aproximar a derivada. A fórmula é:
xk+1 = xk - f(xk) cdot xk - xk-1f(xk) - f(xk-1)
Vamos escolher e .
Iteração 1:
  • ,
  • ,
Iteração 2:
  • ,
  • ,
Iteração 3:
  • ,
  • ,
Iteração 4:
  • ,
  • ,
  • Continua o processo até atingir .
Após mais iterações, chegamos a:
Resultado do Método da Secante:

Resposta

A raiz da função no intervalo é aproximadamente .

Exercícios relacionados