Encontre a raiz da função, através de 3 dos 5 métodos vistos, considerar 4 casas após a virgula e truncamento. Caso escolha o método da bissecção e/ou método da falsa posição realize no máximo 6 iterações.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem que encontrar a raiz da função
no intervalo
. A raiz é o valor de
que faz
. Para isso, vamos usar três métodos diferentes que estudamos: Método da Bissecção, Método da Newton-Raphson e Método da Secante. Vamos precisar entender como cada método funciona e aplicar eles passo a passo. Além disso, vamos truncar os resultados em 4 casas decimais e, para os métodos da Bissecção e Falsa Posição, limitar a até 6 iterações.
Passo 2
Método da Bissecção:
Esse método funciona dividindo o intervalo ao meio repetidamente e escolhendo o subintervalo onde a mudança de sinal acontece, ou seja, onde a função passa de positiva para negativa ou vice-versa. A gente começa com
e
.
- Calcula o ponto médio:
. - Avalia
. - Verifica o sinal de
: - Se
, a raiz está no intervalo . - Caso contrário, está em
.
- Se
- Repete o processo até que
ou atinja 6 iterações.
Vamos aplicar:
Iteração 1:
-
, -
-
- Como
e têm sinais opostos, nova
Iteração 2:
-
, -
-
- Sinais opostos entre
e , nova
Iteração 3:
-
, -
-
- Sinais opostos entre
e , nova
Iteração 4:
-
, -
-
- Sinais opostos entre
e , nova
Iteração 5:
-
, -
-
- Sinais opostos entre
e , nova
Iteração 6:
-
, -
-
- Já que
não atingiu, mas atingimos 6 iterações.
Resultado do Método da Bissecção:
Passo 3
Método da Newton-Raphson:
Esse método usa derivadas para aproximar a raiz. A fórmula é:
Primeiro, encontramos a derivada de
:
Vamos escolher um chute inicial, vamos usar
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Iteração 4:
Iteração 5:
-
-
- Como
, paramos aqui.
Resultado do Método da Newton-Raphson:
Passo 4
Método da Secante:
Esse método é parecido com o Newton-Raphson, mas não usa derivadas. Em vez disso, usa dois pontos para aproximar a derivada. A fórmula é:
Vamos escolher
e
.
Iteração 1:
-
, -
, -
Iteração 2:
-
, -
, -
Iteração 3:
-
, -
, -
Iteração 4:
-
, -
, - Continua o processo até atingir
.
Após mais iterações, chegamos a:
Resultado do Método da Secante:
Resposta
A raiz da função
no intervalo
é aproximadamente
.