Sejam
uma progressão aritmética e
uma progressão geométrica. Se a razão de
é
, a razão de
é
e
determine
de modo que a soma dos
primeiros termos da progressão geométrica seja igual a -80.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas sequências: uma progressão aritmética (PA) chamada
e uma progressão geométrica (PG) chamada
. Sabemos que a razão da PA é
, e a razão da PG é
. Ambas começam com
. Além disso, a soma dos cinco primeiros termos da PA é
. Nosso objetivo é encontrar o valor de
para o qual a soma dos
primeiros termos da PG é igual a
.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de soma para PA e PG, e como elas se relacionam para encontrar o valor de
e, posteriormente, determinar
.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a progressão aritmética (PA). Sabemos que a soma dos cinco primeiros termos da PA é
. A fórmula da soma dos primeiros
termos de uma PA é:
Aqui,
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de
. Primeiro, simplificamos a expressão dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Dividimos ambos os lados por
:
Subtraímos
de ambos os lados:
Convertendo
para ter o mesmo denominador:
Dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Agora que temos o valor de
, podemos encontrar a razão
da progressão geométrica (PG), que é dada por
. Substituindo
:
Passo 5
Com a razão
e o primeiro termo
, podemos usar a fórmula da soma dos primeiros
termos de uma PG para encontrar
quando a soma é
. A fórmula da soma dos primeiros
termos de uma PG é:
Substituindo os valores conhecidos:
Simplificamos o denominador:
Então, temos:
Subtraímos
de ambos os lados:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
que satisfaz a equação
. Sabemos que
, então:
Para que as potências sejam iguais, o expoente
deve ser par, já que
elevado a uma potência par resulta em uma potência positiva. Assim:
Resposta
O valor de
que torna a soma dos
primeiros termos da progressão geométrica igual a
é
.