Sejam (an) uma progressão aritmética e (bn) uma progressão geométrica. Se a razão de (an) é r, r neq 0, a razão de (bn) é q=1 / r, a1=b1=4 e
a1+a2+a3+a4+a5=503,
determine n de modo que a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica seja igual a -80.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos duas sequências: uma progressão aritmética (PA) chamada (an) e uma progressão geométrica (PG) chamada (bn). Sabemos que a razão da PA é r, e a razão da PG é q = 1r. Ambas começam com a1 = b1 = 4. Além disso, a soma dos cinco primeiros termos da PA é 503. Nosso objetivo é encontrar o valor de n para o qual a soma dos n primeiros termos da PG é igual a -80.
Para resolver isso, vamos precisar lembrar das fórmulas de soma para PA e PG, e como elas se relacionam para encontrar o valor de r e, posteriormente, determinar n.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a progressão aritmética (PA). Sabemos que a soma dos cinco primeiros termos da PA é 503. A fórmula da soma dos primeiros N termos de uma PA é:
SN = N2 (2a1 + (N - 1)r)
Aqui, S5 = 503, a1 = 4 e N = 5. Vamos substituir esses valores na fórmula:
503 = 52 (2 times 4 + (5 - 1)r)

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar o valor de r. Primeiro, simplificamos a expressão dentro dos parênteses:
2 times 4 + 4r = 8 + 4r
Substituindo de volta na equação:
503 = 52 (8 + 4r)
Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
1003 = 5 (8 + 4r)
Dividimos ambos os lados por 5:
203 = 8 + 4r
Subtraímos 8 de ambos os lados:
203 - 8 = 4r
Convertendo 8 para ter o mesmo denominador:
203 - 243 = 4r
-43 = 4r
Dividimos ambos os lados por 4:
r = -43 times 4 = -412 = -13

Passo 4

Agora que temos o valor de r = -13, podemos encontrar a razão q da progressão geométrica (PG), que é dada por q = 1r. Substituindo r:
q = 1-13 = -3

Passo 5

Com a razão q = -3 e o primeiro termo b1 = 4, podemos usar a fórmula da soma dos primeiros n termos de uma PG para encontrar n quando a soma é -80. A fórmula da soma dos primeiros n termos de uma PG é:
Sn = b1 times 1 - q^n1 - q
Substituindo os valores conhecidos:
-80 = 4 times 1 - (-3)^n1 - (-3)
Simplificamos o denominador:
1 - (-3) = 4
Então, temos:
-80 = 4 times 1 - (-3)^n4
-80 = 1 - (-3)^n
Subtraímos 1 de ambos os lados:
-81 = -(-3)^n
Multiplicamos ambos os lados por -1:
81 = (-3)^n

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de n que satisfaz a equação 81 = (-3)^n. Sabemos que 81 = 3^4, então:
(-3)^n = 3^4
Para que as potências sejam iguais, o expoente n deve ser par, já que (-3) elevado a uma potência par resulta em uma potência positiva. Assim:
n = 4

Resposta

O valor de n que torna a soma dos n primeiros termos da progressão geométrica igual a -80 é 4.

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