Considere que
é uma das raizes da equação
, onde
é uma constante complexa. Com base nesta informação, quais são as outras raízes
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação envolvendo números complexos e uma das raízes. Nosso objetivo é encontrar as outras quatro raízes dessa equação. Vamos precisar entender um pouco sobre raízes de números complexos e como elas se distribuem no plano complexo.
Passo 2
Primeiro, temos a equação
. Podemos reescrever isso como
. Aqui,
é uma constante complexa, e estamos procurando as soluções para
que satisfazem essa igualdade.
Passo 3
Sabemos que uma das raízes é
. Vamos usar essa informação para encontrar as outras raízes. Em números complexos, as raízes de uma equação como
são igualmente espaçadas ao redor do círculo unitário no plano complexo.
Passo 4
Para encontrar todas as raízes, usamos a fórmula das raízes n-ésimas de números complexos. As raízes são dadas por:
Isso significa que multiplicamos a raiz inicial
por diferentes potências de
para obter as demais raízes.
Passo 5
Vamos calcular cada uma das raízes:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
As outras raízes são: