Considere que z0 = e^(pi i / 10) é uma das raizes da equação z^5 + w = 0, onde w é uma constante complexa. Com base nesta informação, quais são as outras raízes (z1, z2, z3, z4) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação envolvendo números complexos e uma das raízes. Nosso objetivo é encontrar as outras quatro raízes dessa equação. Vamos precisar entender um pouco sobre raízes de números complexos e como elas se distribuem no plano complexo.

Passo 2

Primeiro, temos a equação . Podemos reescrever isso como . Aqui, w é uma constante complexa, e estamos procurando as soluções para z que satisfazem essa igualdade.

Passo 3

Sabemos que uma das raízes é . Vamos usar essa informação para encontrar as outras raízes. Em números complexos, as raízes de uma equação como são igualmente espaçadas ao redor do círculo unitário no plano complexo.

Passo 4

Para encontrar todas as raízes, usamos a fórmula das raízes n-ésimas de números complexos. As raízes são dadas por:
Isso significa que multiplicamos a raiz inicial z0 por diferentes potências de para obter as demais raízes.

Passo 5

Vamos calcular cada uma das raízes:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

As outras raízes são:

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