Encontre uma representaçāo em séric de poténcias para a funçioo e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função
e também determinar o intervalo onde essa série converge. Vamos usar a série geométrica para isso. Basicamente, precisamos reescrever a função de um jeito que a gente consiga aplicar a fórmula da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Soma os números no denominador:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, observamos que
já está na forma de uma série de potências. Na verdade, é só uma função linear, onde o coeficiente de
é
. Não precisa de mais complicação para escrever isso como série geométrica, porque já está bem simples.
Passo 4
Vamos falar sobre o intervalo de convergência. Como nossa série é apenas
, que é uma linha reta, ela vale para todos os valores de
. Não tem restrição, ou seja, a série converge para qualquer número real que a gente escolher para
.
Resposta
A representação em série de potências para
é
, e o intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja,
.
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;
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