Encontre uma representaçāo em séric de poténcias para a funçioo e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma representação em série de potências para a função e também determinar o intervalo onde essa série converge. Vamos usar a série geométrica para isso. Basicamente, precisamos reescrever a função de um jeito que a gente consiga aplicar a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Soma os números no denominador:
Então, a função fica:

Passo 3

Agora, observamos que já está na forma de uma série de potências. Na verdade, é só uma função linear, onde o coeficiente de é . Não precisa de mais complicação para escrever isso como série geométrica, porque já está bem simples.

Passo 4

Vamos falar sobre o intervalo de convergência. Como nossa série é apenas , que é uma linha reta, ela vale para todos os valores de . Não tem restrição, ou seja, a série converge para qualquer número real que a gente escolher para .

Resposta

A representação em série de potências para é , e o intervalo de convergência é todos os números reais, ou seja, .

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