Encontre uma representaçāo em séric de poténcias para a funçioo e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o intervalo de convergência. O assunto que vamos usar aqui é a série geométrica, que ajuda a expressar funções como séries de potências.
Passo 2
Primeiro, observamos que a função
tem a forma de uma série geométrica. A série geométrica padrão é dada por:
Aqui, precisamos identificar o que seria nosso
para aplicar essa fórmula.
Passo 3
Comparando com a série geométrica, podemos reescrever
da seguinte maneira:
Assim, vemos que
.
Passo 4
Aplicando a fórmula da série geométrica com
, temos:
Multiplicando ambos os lados por 8, obtemos:
Passo 5
Portanto, a representação em série de potências para
é:
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Para que a série geométrica converge, precisamos que:
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência é
.