Encontre uma representaçāo em séric de poténcias para a funçioo e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica). f(x) = 8 / (1 - 4 x^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o intervalo de convergência. O assunto que vamos usar aqui é a série geométrica, que ajuda a expressar funções como séries de potências.

Passo 2

Primeiro, observamos que a função tem a forma de uma série geométrica. A série geométrica padrão é dada por:
Aqui, precisamos identificar o que seria nosso para aplicar essa fórmula.

Passo 3

Comparando com a série geométrica, podemos reescrever da seguinte maneira:
Assim, vemos que .

Passo 4

Aplicando a fórmula da série geométrica com , temos:
Multiplicando ambos os lados por 8, obtemos:

Passo 5

Portanto, a representação em série de potências para é:

Passo 6

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Para que a série geométrica converge, precisamos que:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência é .

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