Encontre uma representaçāo em séric de poténcias para a funçioo e determine o intervalo de convergência. (Dica: use a série geométrica).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrarmos uma representação em série de potências para a função e também determinar o intervalo de convergência dessa série. Vamos usar a série geométrica para resolver isso. Vamos precisar manipular a função para encaixar na forma da série geométrica e depois encontrar para quais valores de essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a aplicação da série geométrica. A série geométrica tem a forma:
Queremos manipular para ter algo parecido com .

Passo 3

Vamos fatorar o denominador :
Agora, temos algo parecido com , onde .

Passo 4

Aplicando a série geométrica, podemos expandir como:

Passo 5

Agora, substituímos essa série de volta na expressão de :
Podemos simplificar isso:

Passo 6

Para determinar o intervalo de convergência, usamos a condição da série geométrica que diz que a série converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, a série converge para no intervalo .

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
E o intervalo de convergência dessa série é .

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