Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a gente precisa fazer aqui. O exercício pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
e também determinar o intervalo onde essa série converge. Isso envolve conceitos de séries de potências e série geométrica. Vamos precisar reescrever a função de forma que possamos aplicar a fórmula de uma série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. A fórmula básica é:
Essa série converge quando o valor absoluto de
é menor que 1, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos manipular a função
para encaixar na fórmula da série geométrica. Observe que:
Aqui, podemos identificar
. Então, aplicando a série geométrica:
Multiplicando por
:
Então, a representação em série de potências para
é:
Passo 4
Para encontrar o intervalo de convergência, vamos lembrar que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, a série converge para todos os valores de
tais que
.
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
E o intervalo de convergência dessa série é
.
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Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série dada:
Calcule
onde
é o arco da hélice circular dado por
, do ponto
ao ponto
Determine
se
.