Calcule
onde
é o arco da hélice circular dado por
, do ponto
ao ponto
Passo 1
Então, temos que calcular a integral de linha
onde
é o arco da hélice circular definida por
, indo do ponto
ao ponto
. Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e integrais de linha para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. A função vetorial dada é
. Aqui,
é o parâmetro que varia para traçar a hélice.
Passo 3
Precisamos encontrar os limites de integração para
. Observando os pontos:
-
No ponto
, temos , , e . Isso ocorre quando . -
No ponto
, temos , , e . Isso ocorre quando .
Então,
varia de
a
.
Passo 4
Agora, vamos expressar
,
e
em termos de
. Derivando
em relação a
:
Passo 5
Substituindo
,
,
,
,
e
na integral original:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, separamos a integral em três partes para facilitar o cálculo:
Passo 8
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
Usamos integração por partes, onde
e
. Então,
e
.
Avaliado de
a
:
Segunda Integral:
Usamos a identidade trigonométrica
:
Avaliado de
a
:
Terceira Integral:
Avaliado de
a
:
Passo 9
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
Resposta
Portanto, o valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Determine
se
.
Determine
se
sen
,
.