Calcule integralC z d x+x d y+y d z onde C é o arco da hélice circular dado por r(t)=(cos t, sin t, t / pi), do ponto A(1,0,0) ao ponto B(-1,0,1)

Passo 1

Então, temos que calcular a integral de linha integralC z, dx + x, dy + y, dz onde C é o arco da hélice circular definida por r(t) = (cos t, sin t, t / pi), indo do ponto A(1,0,0) ao ponto B(-1,0,1). Vamos usar o conceito de parametrização de curvas e integrais de linha para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva C. A função vetorial dada é r(t) = (cos t, sin t, t / pi). Aqui, t é o parâmetro que varia para traçar a hélice.

Passo 3

Precisamos encontrar os limites de integração para t. Observando os pontos:
  • No ponto A(1,0,0), temos cos t = 1, sin t = 0, e t / pi = 0. Isso ocorre quando t = 0.
  • No ponto B(-1,0,1), temos cos t = -1, sin t = 0, e t / pi = 1. Isso ocorre quando t = pi.
Então, t varia de 0 a pi.

Passo 4

Agora, vamos expressar dx, dy e dz em termos de t. Derivando r(t) em relação a t:
dx = ddt(cos t), dt = -sin t, dt
dy = ddt(sin t), dt = cos t, dt
dz = ddt(tpi), dt = 1pi, dt

Passo 5

Substituindo x, y, z, dx, dy e dz na integral original:
integralC z, dx + x, dy + y, dz = integral0^pi ( tpi (-sin t) + cos t (cos t) + sin t ( 1pi ) ) dt

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
integral0^pi ( -tpi sin t + cos^2 t + sin tpi ) dt

Passo 7

Agora, separamos a integral em três partes para facilitar o cálculo:
-1pi integral0^pi t sin t, dt + integral0^pi cos^2 t, dt + 1pi integral0^pi sin t, dt

Passo 8

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira Integral:
integral t sin t, dt
Usamos integração por partes, onde u = t e dv = sin t, dt. Então, du = dt e v = -cos t.
integral t sin t, dt = -t cos t + integral cos t, dt = -t cos t + sin t
Avaliado de 0 a pi:
[-pi cos pi + sin pi] - [0 + sin 0] = [-pi (-1) + 0] - [0 + 0] = pi
Segunda Integral:
integral cos^2 t, dt
Usamos a identidade trigonométrica cos^2 t = 1 + cos 2t2:
integral 1 + cos 2t2, dt = 12 integral 1, dt + 12 integral cos 2t, dt = t2 + sin 2t4
Avaliado de 0 a pi:
[pi2 + sin 2pi4] - [0 + sin 04] = pi2 + 0 - 0 = pi2
Terceira Integral:
integral sin t, dt = -cos t
Avaliado de 0 a pi:
[-cos pi] - [-cos 0] = [1] - [-1] = 2

Passo 9

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta na expressão original:
-1pi (pi) + pi2 + 1pi (2) = -1 + pi2 + 2pi

Resposta

Portanto, o valor da integral é boxed -1 + dfracpi2 + dfrac2pi .

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