Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar uma representação dela em forma de série de potências. Isso envolve usar séries de Taylor para expandir a função e também determinar para quais valores de essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a expansão em série. Observamos que:
Passo 3
Usando a propriedade dos logaritmos , podemos separar a expressão:
Agora, a função está escrita como a soma de um termo constante e , que é mais fácil de expandir em série.
Passo 4
Sabemos que a série de Taylor para é:
Aqui, , então temos:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de , temos:
Essa é a representação em série de potências para a função .
Passo 6
Para determinar o intervalo de convergência, usamos a condição :
Portanto, a série converge para todos os tais que .