Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar uma representação dela em forma de série de potências. Isso envolve usar séries de Taylor para expandir a função e também determinar para quais valores de essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma maneira que facilite a expansão em série. Observamos que:

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos , podemos separar a expressão:
Agora, a função está escrita como a soma de um termo constante e , que é mais fácil de expandir em série.

Passo 4

Sabemos que a série de Taylor para é:
Aqui, , então temos:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de , temos:
Essa é a representação em série de potências para a função .

Passo 6

Para determinar o intervalo de convergência, usamos a condição :
Portanto, a série converge para todos os tais que .

Resposta

A representação em série de potências para é:
E o intervalo de convergência é .

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e
(Lembre que ) Resposta:
(f)
Ache a derivada total , usando a regra da cadeia:
e
R.:
Encontre o domínio da função de Bessel de Ordem 1: