Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções: f(x)=x9+x^2 cdot(sumn=0^infty(-1)^n x^2 n+19^n+1, R=3 e I=(-3,3).)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação de série de potência para a função e determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para que ela se pareça mais com uma forma que possamos expandir em série. Podemos reescrever o denominador de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica.

Passo 3

Observe que f(x) = x9 (1 + x^29) = x9 cdot 11 + x^29 pode ser reescrito como . Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série geométrica:
11 - r = sumn=0^infty r^n para |r| < 1
Mas no nosso caso, temos , que pode ser escrito como . Assim, podemos aplicar a série geométrica com .

Passo 5

Aplicando a série geométrica, temos:
11 + x^29 = sumn=0^infty (-x^29)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n9^n

Passo 6

Voltando à nossa função f(x) = x9 cdot sumn=0^infty (-1)^n x^2n9^n = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+19^n+1 , substituímos a expressão da série:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando:
| -x^29 | < 1 implies x^29 < 1 implies |x| < 3
Então, o raio de convergência é 3, e o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potência da função é:
f(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+19^n+1
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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