Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções: e .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação de série de potência para a função e determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a função para que ela se pareça mais com uma forma que possamos expandir em série. Podemos reescrever o denominador de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica.

Passo 3

Observe que pode ser reescrito como . Então, a função fica:

Passo 4

Agora, vamos lembrar da série geométrica:
Mas no nosso caso, temos , que pode ser escrito como . Assim, podemos aplicar a série geométrica com .

Passo 5

Aplicando a série geométrica, temos:

Passo 6

Voltando à nossa função , substituímos a expressão da série:

Passo 7

Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando:
Então, o raio de convergência é 3, e o intervalo de convergência é .

Resposta

A representação em série de potência da função é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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A.
B.
C.
D.
E.
De acordo com os estudos da unidade 2 podemos dizer que rot é um
A. campo contínuo
B. campo vetorial
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A base de um sólido é a região entre a curva e o intervalo no eixo . As seções transversais perpendicalares ao eixo são: quadrados com bases que se estendem do eixo à curva.
Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.