Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções: e .)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma representação de série de potência para a função e determinar o intervalo e o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries geométricas e propriedades de convergência de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a função para que ela se pareça mais com uma forma que possamos expandir em série. Podemos reescrever o denominador de uma forma que facilite a aplicação da série geométrica.
Passo 3
Observe que pode ser reescrito como . Então, a função fica:
Passo 4
Agora, vamos lembrar da série geométrica:
Mas no nosso caso, temos , que pode ser escrito como . Assim, podemos aplicar a série geométrica com .
Passo 5
Aplicando a série geométrica, temos:
Passo 6
Voltando à nossa função , substituímos a expressão da série:
Passo 7
Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando:
Então, o raio de convergência é 3, e o intervalo de convergência é .
Resposta
A representação em série de potência da função é:
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .