A base de um sólido é a região entre a curva e o intervalo no eixo . As seções transversais perpendicalares ao eixo são: quadrados com bases que se estendem do eixo à curva.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que calcular o volume de um sólido cuja base é a região entre a curva e o intervalo no eixo . As seções transversais desse sólido, ou seja, as “fatias” que a gente tira perpendicularmente ao eixo , são quadrados com lados que vão do eixo até a curva. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais para calcular o volume através das áreas das seções transversais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o volume usando integrais. Quando temos seções transversais conhecidas, o volume do sólido pode ser encontrado integrando a área dessas seções ao longo do eixo . A fórmula geral para isso é:
Onde é a área da seção transversal no ponto , e é o intervalo em que estamos calculando o volume. No nosso caso, e .

Passo 3

Agora, vamos determinar a área da seção transversal . Como as seções são quadrados com lados que vão do eixo até a curva , o comprimento de cada lado do quadrado é . A área de um quadrado é lado ao quadrado, então temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão da área:
Então, a área da seção transversal em qualquer ponto é .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos calcular essa integral. A integral de em relação a é . Então:

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Sabemos que e , então:

Resposta

O volume do sólido é 8 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções: e .)
Calule o divergente do campo vetorial dado por .
A.
B.
C.
D.
E.
Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Mostre que a série geométrica
ê convergente se e sua soma é
Se , a série geométrica é divergente.