A base de um sólido é a região entre a curva
e o intervalo
no eixo
. As seções transversais perpendicalares ao eixo
são: quadrados com bases que se estendem do eixo
à curva.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem que calcular o volume de um sólido cuja base é a região entre a curva
e o intervalo
no eixo
. As seções transversais desse sólido, ou seja, as “fatias” que a gente tira perpendicularmente ao eixo
, são quadrados com lados que vão do eixo
até a curva. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais para calcular o volume através das áreas das seções transversais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o volume usando integrais. Quando temos seções transversais conhecidas, o volume do sólido pode ser encontrado integrando a área dessas seções ao longo do eixo
. A fórmula geral para isso é:
Onde
é a área da seção transversal no ponto
, e
é o intervalo em que estamos calculando o volume. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a área da seção transversal
. Como as seções são quadrados com lados que vão do eixo
até a curva
, o comprimento de cada lado do quadrado é
. A área de um quadrado é lado ao quadrado, então temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da área:
Então, a área da seção transversal em qualquer ponto
é
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos calcular essa integral. A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
O volume do sólido é 8 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Encontre uma representação em séries de potência e forneça o intervalo e o raio de convergência das seguintes funções:
e
.)
Calule o divergente do campo vetorial dado por
.
A.
B.
C.
D.
E.
A.
B.
C.
D.
E.
Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
Mostre que a série geométrica
ê convergente se
e sua soma é
Se
, a série geométrica é divergente.