Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.
a_n = (e^2 + c^(-n)) / (e^(2n) - 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos achar o limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e manipulação algébrica.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador conforme cresce. O numerador é e o denominador é .

Passo 3

Observando o denominador , percebemos que à medida que aumenta, cresce muito rápido, já que a base é maior que 1. Portanto, o denominador tende a infinito.

Passo 4

No numerador, temos . Aqui, é uma constante, e . Se , também cresce, fazendo tender a zero. Se , cresce sem limite, mas vamos considerar para que tende a zero.

Passo 5

Assumindo que , o numerador tende a , já que . Então, temos uma situação onde o numerador tende a uma constante e o denominador tende a infinito.

Passo 6

Quando o numerador tende a uma constante e o denominador tende a infinito, o valor da fração tende a zero. Ou seja:

Resposta

A sequência converge para 0.

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