Encontre o resultado em coordenada retangular e polar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa encontrar os resultados nas formas retangular e polar para as duas expressões dadas. Para isso, vamos usar conceitos de operações com números complexos, como potenciação, divisão, e conversão entre as formas retangular (a + jb) e polar (r ∠θ). Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
Primeiro, precisamos calcular cada componente dessa expressão separadamente antes de fazer as operações de divisão.

Passo 3

Calculando :
Para elevar um número complexo à potência 3, usamos a forma binomial:
Aplicando isso:

Passo 4

Convertendo para forma retangular:
A forma polar pode ser convertida para retangular usando:
Então,
Como ,

Passo 5

Somando e :
Agora, somamos os resultados obtidos:

Passo 6

Calculando :
Aqui, interpretamos como uma forma polar: magnitude 2 e ângulo -75º (porque é divisão, subtrai-se o ângulo).
Então,

Passo 7

Calculando :
Usamos a mesma técnica da potenciação:

Passo 8

Multiplicando por :
Primeiro, convertemos para forma polar.
Calculando a magnitude:
Calculando o ângulo:
(Como o número está no segundo quadrante, adicionamos 180º se necessário. Aqui, o ângulo já está correto.)
Então,
Agora, multiplicamos:

Passo 9

Convertendo para forma retangular:
Usamos:
Então,
Calculando:
Então,

Passo 10

Adicionando na forma retangular:
Convertendo para retangular:
Agora, somamos com o resultado anterior:

Passo 11

Montando o denominador completo:
Agora, temos:
Convertendo para retangular (já fizemos isso):

Passo 12

Convertendo o denominador para polar:
Calculamos a magnitude e o ângulo:
Então,

Passo 13

Dividindo o numerador pelo denominador:
Agora, temos:
Primeiro, convertemos o numerador para forma polar:
Magnitude:
Ângulo:
(Como está no segundo quadrante, adicionamos 180º)
Então,
Agora, dividimos:

Passo 14

Convertendo o resultado para forma retangular:
Usamos:
Então,
Calculando:
Então,
Aproximando:

Passo 15

Resposta da parte a):
Em forma retangular:
Em forma polar:

Resposta

a) ;

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