Encontre o resultado em coordenada retangular e polar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa encontrar os resultados nas formas retangular e polar para as duas expressões dadas. Para isso, vamos usar conceitos de operações com números complexos, como potenciação, divisão, e conversão entre as formas retangular (a + jb) e polar (r ∠θ). Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com a parte a):
Primeiro, precisamos calcular cada componente dessa expressão separadamente antes de fazer as operações de divisão.
Passo 3
Calculando
:
Para elevar um número complexo à potência 3, usamos a forma binomial:
Aplicando isso:
Passo 4
Convertendo
para forma retangular:
A forma polar
pode ser convertida para retangular usando:
Então,
Como
,
Passo 5
Somando
e
:
Agora, somamos os resultados obtidos:
Passo 6
Calculando
:
Aqui, interpretamos
como uma forma polar: magnitude 2 e ângulo -75º (porque é divisão, subtrai-se o ângulo).
Então,
Passo 7
Calculando
:
Usamos a mesma técnica da potenciação:
Passo 8
Multiplicando
por
:
Primeiro, convertemos
para forma polar.
Calculando a magnitude:
Calculando o ângulo:
(Como o número está no segundo quadrante, adicionamos 180º se necessário. Aqui, o ângulo já está correto.)
Então,
Agora, multiplicamos:
Passo 9
Convertendo
para forma retangular:
Usamos:
Então,
Calculando:
Então,
Passo 10
Adicionando
na forma retangular:
Convertendo
para retangular:
Agora, somamos com o resultado anterior:
Passo 11
Montando o denominador completo:
Agora, temos:
Convertendo
para retangular (já fizemos isso):
Passo 12
Convertendo o denominador para polar:
Calculamos a magnitude e o ângulo:
Então,
Passo 13
Dividindo o numerador pelo denominador:
Agora, temos:
Primeiro, convertemos o numerador para forma polar:
Magnitude:
Ângulo:
(Como está no segundo quadrante, adicionamos 180º)
Então,
Agora, dividimos:
Passo 14
Convertendo o resultado para forma retangular:
Usamos:
Então,
Calculando:
Então,
Aproximando:
Passo 15
Resposta da parte a):
Em forma retangular:
Em forma polar:
Resposta
a)
;
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