Encontre o resultado em coordenada retangular e polar.
ll a) (4+j 5)^3+3 ang<= 45^circ2 / 75^circ(5+j 6)^2+3 ang<= 55^circ & b) 10 ang<= 15^circ-5 ang<=-60^circ(2 /-170^circ)1 ang<= 10^circ+5 ang<=-30^circ-45 ang<= 0^circ-2 ang<= 5^circ & Resposta: a) 2,0296 - j0,7693; 2, 1705 20,7591^circ b) -0,377+j 0,144 ; 0,404 / 159,066^circ

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de números complexos! A gente precisa encontrar os resultados nas formas retangular e polar para as duas expressões dadas. Para isso, vamos usar conceitos de operações com números complexos, como potenciação, divisão, e conversão entre as formas retangular (a + jb) e polar (r ∠θ). Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com a parte a):
(4 + j5)^3 + 3 ang<= 45^circ2 / 75^circ cdot (5 + j6)^2 + 3 ang<= 55^circ
Primeiro, precisamos calcular cada componente dessa expressão separadamente antes de fazer as operações de divisão.

Passo 3

Calculando (4 + j5)^3:
Para elevar um número complexo à potência 3, usamos a forma binomial:
(a + jb)^3 = a^3 + 3a^2(jb) + 3a(jb)^2 + (jb)^3
Aplicando isso:
(4 + j5)^3 = 4^3 + 3 cdot 4^2 cdot j5 + 3 cdot 4 cdot (j5)^2 + (j5)^3
= 64 + 3 cdot 16 cdot j5 + 3 cdot 4 cdot (-25) + (-j125)
= 64 + 240j - 300 - j125
= (64 - 300) + j(240 - 125)
= -236 + j115

Passo 4

Convertendo 3 ang<= 45^circ para forma retangular:
A forma polar r ang<= theta pode ser convertida para retangular usando:
a + jb = r cos(theta) + j r sin(theta)
Então,
3 ang<= 45^circ = 3 cos(45^circ) + j3 sin(45^circ)
Como cos(45^circ) = sin(45^circ) = raiz22 approx 0,7071,
= 3 cdot 0,7071 + j3 cdot 0,7071
= 2,1213 + j2,1213

Passo 5

Somando (4 + j5)^3 e 3 ang<= 45^circ:
Agora, somamos os resultados obtidos:
(-236 + j115) + (2,1213 + j2,1213) = (-236 + 2,1213) + j(115 + 2,1213)
= -233,8787 + j117,1213

Passo 6

Calculando 2 / 75^circ:
Aqui, interpretamos 2 / 75^circ como uma forma polar: magnitude 2 e ângulo -75º (porque é divisão, subtrai-se o ângulo).
Então,
2 ang<= -75^circ

Passo 7

Calculando (5 + j6)^2:
Usamos a mesma técnica da potenciação:
(5 + j6)^2 = 5^2 + 2 cdot 5 cdot j6 + (j6)^2
= 25 + j60 + (-36)
= (25 - 36) + j60
= -11 + j60

Passo 8

Multiplicando 2 ang<= -75^circ por (5 + j6)^2:
Primeiro, convertemos (5 + j6)^2 para forma polar.
Calculando a magnitude:
| -11 + j60 | = raiz(-11)^2 + 60^2 = raiz121 + 3600 = raiz3721 = 61
Calculando o ângulo:
theta = arctan(60-11) approx 99,46^circ
(Como o número está no segundo quadrante, adicionamos 180º se necessário. Aqui, o ângulo já está correto.)
Então,
-11 + j60 = 61 ang<= 99,46^circ
Agora, multiplicamos:
2 ang<= -75^circ cdot 61 ang<= 99,46^circ = 2 cdot 61 ang<= (-75^circ + 99,46^circ) = 122 ang<= 24,46^circ

Passo 9

Convertendo 122 ang<= 24,46^circ para forma retangular:
Usamos:
a + jb = r cos(theta) + j r sin(theta)
Então,
122 ang<= 24,46^circ = 122 cos(24,46^circ) + j122 sin(24,46^circ)
Calculando:
cos(24,46^circ) approx 0,9120 sin(24,46^circ) approx 0,4099
Então,
= 122 cdot 0,9120 + j122 cdot 0,4099 = 111,264 + j49,9578

Passo 10

Adicionando 3 ang<= 55^circ na forma retangular:
Convertendo 3 ang<= 55^circ para retangular:
3 cos(55^circ) + j3 sin(55^circ) approx 3 cdot 0,5736 + j3 cdot 0,8192 = 1,7208 + j2,4576
Agora, somamos com o resultado anterior:
111,264 + j49,9578 + 1,7208 + j2,4576 = (111,264 + 1,7208) + j(49,9578 + 2,4576) = 112,9848 + j52,4154

Passo 11

Montando o denominador completo:
Agora, temos:
2 / 75^circ cdot (5 + j6)^2 + 3 ang<= 55^circ = 122 ang<= 24,46^circ + 3 ang<= 55^circ
Convertendo 3 ang<= 55^circ para retangular (já fizemos isso):
= 111,264 + j49,9578 + 1,7208 + j2,4576 = 112,9848 + j52,4154

Passo 12

Convertendo o denominador para polar:
Calculamos a magnitude e o ângulo:
|112,9848 + j52,4154| = raiz112,9848^2 + 52,4154^2 approx raiz12778,9 + 2744,1 approx raiz15523 approx 124,6
theta = arctan(52,4154112,9848) approx 25,0^circ
Então,
112,9848 + j52,4154 approx 124,6 ang<= 25,0^circ

Passo 13

Dividindo o numerador pelo denominador:
Agora, temos:
-233,8787 + j117,1213124,6 ang<= 25,0^circ
Primeiro, convertemos o numerador para forma polar:
Magnitude:
| -233,8787 + j117,1213 | = raiz(-233,8787)^2 + 117,1213^2 approx raiz54739,8 + 13702,1 approx raiz68441,9 approx 261,6
Ângulo:
theta = arctan(117,1213-233,8787) approx -26,7^circ
(Como está no segundo quadrante, adicionamos 180º)
theta = 180^circ - 26,7^circ = 153,3^circ
Então,
-233,8787 + j117,1213 approx 261,6 ang<= 153,3^circ
Agora, dividimos:
261,6 ang<= 153,3^circ124,6 ang<= 25,0^circ = 261,6124,6 ang<= (153,3^circ - 25,0^circ) approx 2,100 ang<= 128,3^circ

Passo 14

Convertendo o resultado para forma retangular:
Usamos:
a + jb = r cos(theta) + j r sin(theta)
Então,
2,100 ang<= 128,3^circ = 2,100 cos(128,3^circ) + j2,100 sin(128,3^circ)
Calculando:
cos(128,3^circ) approx -0,6483 sin(128,3^circ) approx 0,7610
Então,
= 2,100 cdot (-0,6483) + j2,100 cdot 0,7610 = -1,3614 + j1,5981
Aproximando:
approx -1,361 + j1,598

Passo 15

Resposta da parte a):
Em forma retangular:
-1,361 + j1,598
Em forma polar:
2,100 ang<= 128,3^circ

Resposta

a) -1,361 + j1,598; 2,100 ang<= 128,3^circ

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