Encontre o rotacional dos campos vetoriais: v = < x y z, z^2, x - y >.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o rotacional do campo vetorial . Isso faz parte do estudo de Cálculo Vetorial, especificamente sobre o conceito de rotacional ou curl de um campo vetorial. Para resolver, precisamos conhecer a fórmula do rotacional e saber calcular derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por , mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. É uma ferramenta muito útil em física e engenharia, especialmente em eletromagnetismo e fluxo de fluidos.

Passo 3

A fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial é dada pelo determinante de uma matriz que envolve os vetores unitários e as derivadas parciais:
Onde são os vetores unitários nos eixos respectivamente.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula ao nosso campo vetorial . Identificando as componentes:
Agora, montamos a matriz:

Passo 5

Vamos calcular o determinante:
  1. Componente :
  1. Componente :
  1. Componente :

Passo 6

Juntando todas as componentes, temos:

Resposta

O rotacional do campo vetorial é:

Exercícios relacionados

Decida se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumn=1^infty cos n-sin nn^3
Verifique que o vetor posição r = <x, y, z> tem a propriedade enunciada: c div r = 3
Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação nabla vezes para o rotacional.
Encontre o gradiente do campo escalar f(x) = x y z e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de f neste ponto na direção do vetor ⟨ 1, 1, 0 ⟩.