Encontre o gradiente do campo escalar f(x) = x y z e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de f neste ponto na direção do vetor ⟨ 1, 1, 0 ⟩.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o gradiente do campo escalar e avaliar esse gradiente no ponto (1, 2, 3). Depois, precisamos achar a derivada direcional de nesse ponto na direção do vetor .
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o gradiente de uma função, como calcular derivadas parciais e, finalmente, como encontrar a derivada direcional usando o gradiente e um vetor de direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de uma função é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja,
Ele aponta na direção de maior crescimento da função e é super útil para encontrar taxas de variação em direções específicas.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de .
  1. Derivada parcial em relação a :
Aqui, tratamos e como constantes e derivamos , que fica simplesmente 1, multiplicado por e .
  1. Derivada parcial em relação a :
Mesmo raciocínio: derivando , que dá 1, e multiplicando por e .
  1. Derivada parcial em relação a :
Igualmente, derivando , que resulta em 1, e multiplicando por e .

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, o gradiente de fica:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto específico .
Substituindo , e :

Passo 5

Agora que temos o gradiente no ponto , podemos calcular a derivada direcional na direção do vetor .
Primeiro, precisamos normalizar o vetor de direção. Isso significa ajustar seu comprimento para 1, tornando-o um vetor unitário.
O vetor dado é . O comprimento (ou norma) de é:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

A derivada direcional de na direção de é dada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com :
Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto (1, 2, 3) na direção do vetor é .

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Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação nabla vezes para o rotacional.
Encontre o rotacional dos campos vetoriais: v = < x y z, z^2, x - y >.
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