Encontre o gradiente do campo escalar
e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de
neste ponto na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o gradiente do campo escalar
e avaliar esse gradiente no ponto (1, 2, 3). Depois, precisamos achar a derivada direcional de
nesse ponto na direção do vetor
.
Para resolver isso, vamos precisar saber o que é o gradiente de uma função, como calcular derivadas parciais e, finalmente, como encontrar a derivada direcional usando o gradiente e um vetor de direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente de uma função
é um vetor que contém todas as suas derivadas parciais. Ou seja,
Ele aponta na direção de maior crescimento da função e é super útil para encontrar taxas de variação em direções específicas.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
.
- Derivada parcial em relação a
:
Aqui, tratamos
e
como constantes e derivamos
, que fica simplesmente 1, multiplicado por
e
.
- Derivada parcial em relação a
:
Mesmo raciocínio: derivando
, que dá 1, e multiplicando por
e
.
- Derivada parcial em relação a
:
Igualmente, derivando
, que resulta em 1, e multiplicando por
e
.
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, o gradiente de
fica:
Agora, vamos avaliar esse gradiente no ponto específico
.
Substituindo
,
e
:
Passo 5
Agora que temos o gradiente no ponto
, podemos calcular a derivada direcional na direção do vetor
.
Primeiro, precisamos normalizar o vetor de direção. Isso significa ajustar seu comprimento para 1, tornando-o um vetor unitário.
O vetor dado é
. O comprimento (ou norma) de
é:
Então, o vetor unitário
na direção de
é:
Passo 6
A derivada direcional de
na direção de
é dada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto com
:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto (1, 2, 3) na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação
para o rotacional.
Encontre o rotacional dos campos vetoriais:
.
Considere o campo vetorial
. Mostre que
pode ser escrito como o gradiente de um potencial
. Mostre também que a integral de linha de
ao redor do círculo unitário
é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.
Encontre um campo vetorial conservativo tendo a função potencial dada: