Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação
para o rotacional.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa reescrever algumas identidades que vimos antes, mas agora usando a notação do rotacional, que é representada por
. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e como ele funciona nas identidades vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial
, escrito como
, mede a tendência do campo de girar em torno de cada ponto. É uma operação importante no cálculo vetorial e aparece em várias identidades, especialmente nas equações de Maxwell na física.
Passo 3
Agora, vamos supor que uma das identidades que precisamos reescrever seja a seguinte:
Aqui, “rot” representa o rotacional. Nosso objetivo é reescrever isso usando a notação
.
Passo 4
Vamos substituir “rot” por
. Ficaria assim:
Aqui,
representa a divergência, que também é importante nas identidades vetoriais.
Passo 5
Outra identidade comum envolve o rotacional de um gradiente. A identidade é:
Substituindo “rot” por
, temos:
Isso nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar
é sempre o vetor nulo.
Passo 6
Também temos a identidade do rotacional de um rotacional. A identidade original é:
Reescrevendo com
, fica:
Aqui,
é o operador laplaciano aplicado ao campo vetorial
.
Resposta
Reescrevendo as identidades utilizando a notação do rotacional
, temos:
Exercícios relacionados
Encontre o rotacional dos campos vetoriais:
.
Decida se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
Encontre o gradiente do campo escalar
e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de
neste ponto na direção do vetor
.
Considere o campo vetorial
. Mostre que
pode ser escrito como o gradiente de um potencial
. Mostre também que a integral de linha de
ao redor do círculo unitário
é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.