Reescreva as identidades do exercício anterior em forma equivalente, utilizando a notação nabla vezes para o rotacional.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão tá pedindo. A gente precisa reescrever algumas identidades que vimos antes, mas agora usando a notação do rotacional, que é representada por nabla vezes. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é o rotacional e como ele funciona nas identidades vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do que é o rotacional. O rotacional de um campo vetorial F, escrito como , mede a tendência do campo de girar em torno de cada ponto. É uma operação importante no cálculo vetorial e aparece em várias identidades, especialmente nas equações de Maxwell na física.

Passo 3

Agora, vamos supor que uma das identidades que precisamos reescrever seja a seguinte:
Aqui, “rot” representa o rotacional. Nosso objetivo é reescrever isso usando a notação nabla vezes.

Passo 4

Vamos substituir “rot” por nabla vezes. Ficaria assim:
Aqui, representa a divergência, que também é importante nas identidades vetoriais.

Passo 5

Outra identidade comum envolve o rotacional de um gradiente. A identidade é:
Substituindo “rot” por nabla vezes, temos:
Isso nos diz que o rotacional do gradiente de qualquer função escalar phi é sempre o vetor nulo.

Passo 6

Também temos a identidade do rotacional de um rotacional. A identidade original é:
Reescrevendo com nabla vezes, fica:
Aqui, é o operador laplaciano aplicado ao campo vetorial A.

Resposta

Reescrevendo as identidades utilizando a notação do rotacional nabla vezes, temos:

Exercícios relacionados

Encontre o rotacional dos campos vetoriais: v = < x y z, z^2, x - y >.
Decida se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumn=1^infty cos n-sin nn^3
Encontre o gradiente do campo escalar f(x) = x y z e avalie-o no ponto (1, 2, 3). Portanto, encontre a derivada direcional de f neste ponto na direção do vetor ⟨ 1, 1, 0 ⟩.
Considere o campo vetorial F(x) = < y / (x^2 + y^2), -x / (x^2 + y^2), 0 >. Mostre que F pode ser escrito como o gradiente de um potencial phi. Mostre também que a integral de linha de F ao redor do círculo unitário x^2 + y^2 = 1 é diferente de zero. Explique por que este resultado não contradiz o Teorema 3.1.