Encontre nos seguintes exercícios as derivadas y'(x) e y''(x) sem eliminar o parâmetro
(d) x = e^(3t), y = 1 + cos(t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar as derivadas primeira e segunda de em relação a , usando equações paramétricas. Aqui, temos e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia para derivadas paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação ao parâmetro . A fórmula para isso é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Usando a regra da derivada para exponenciais:

Passo 4

Para encontrar , usamos a regra da cadeia que diz:

Passo 5

Agora, para encontrar a segunda derivada , precisamos derivar em relação a e depois dividir por :
Primeiro, derivamos :
Então:

Resposta

A derivada primeira é:
E a derivada segunda é:

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