Mostre que é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(d)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati dada por:
E nos dizem que é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é mostrar que realmente satisfaz a equação e, em seguida, encontrar a solução geral dessa equação de Riccati. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e métodos de resolução para equações de Riccati, que geralmente envolvem encontrar soluções particulares e transformar a equação em uma equação mais simples, como uma equação linear.

Passo 2

Vamos começar verificando se é de fato uma solução da equação de Riccati. Para isso, substituímos por na equação e calculamos .
Sabemos que , então:
Agora, substituindo e na equação original:
Como ambos os lados da equação são iguais, confirmamos que é de fato uma solução da equação de Riccati.

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral da equação de Riccati, usaremos a solução particular que encontramos ( ) para realizar uma substituição que simplifique a equação.
Vamos assumir que a solução geral pode ser escrita como:
Onde é uma função que precisamos determinar. Substituindo na equação original:
Calculando a derivada:
Substituindo de volta na equação:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por para eliminar os denominadores:
Rearranjando a equação:

Passo 4

Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para :
Podemos reescrever essa equação na forma padrão:
Onde:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante :
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora que temos , podemos retornar à substituição que fizemos anteriormente para encontrar :
Simplificando o denominador:
Para simplificar ainda mais, vamos encontrar um denominador comum no termo do denominador:
Portanto:
Simplificando:

Resposta

A solução geral da equação de Riccati é:
Onde é uma constante arbitrária.

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(d)
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sen
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