Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(d)
(d)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati dada por:
E nos dizem que
é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é mostrar que
realmente satisfaz a equação e, em seguida, encontrar a solução geral dessa equação de Riccati. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais e métodos de resolução para equações de Riccati, que geralmente envolvem encontrar soluções particulares e transformar a equação em uma equação mais simples, como uma equação linear.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é de fato uma solução da equação de Riccati. Para isso, substituímos
por
na equação e calculamos
.
Sabemos que
, então:
Agora, substituindo
e
na equação original:
Como ambos os lados da equação são iguais, confirmamos que
é de fato uma solução da equação de Riccati.
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral da equação de Riccati, usaremos a solução particular que encontramos (
) para realizar uma substituição que simplifique a equação.
Vamos assumir que a solução geral
pode ser escrita como:
Onde
é uma função que precisamos determinar. Substituindo
na equação original:
Calculando a derivada:
Substituindo de volta na equação:
Expandindo os termos:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Rearranjando a equação:
Passo 4
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem para
:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão:
Onde:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante
:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos retornar à substituição que fizemos anteriormente para encontrar
:
Simplificando o denominador:
Para simplificar ainda mais, vamos encontrar um denominador comum no termo do denominador:
Portanto:
Simplificando:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati é:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
© A equação tem um fator integrante da forma
. Determine
e resolva a equação.
© A equação
Encontre nos seguintes exercícios as derivadas
e
sem eliminar o parâmetro
(d)
(d)
Determine a derivada da função vetorial.
sen
Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
(b) A equação tem
como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
.
(b) A equação