Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
© A equação e^x sec(y) - tg(y) + y' = 0 tem um fator integrante da forma f(x, y) = e^(a * x) * cos(y). Determine a e resolva a equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial e sabemos que ela possui um fator integrante da forma . Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de e resolver essa equação. Para isso, vamos usar o conceito de fatores integrantes, que nos ajuda a transformar uma equação diferencial que não é exata em uma que é, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais conveniente:
Isso é do tipo , e queremos encontrar um fator integrante que torne essa equação exata. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada na equação diferencial original, faz com que os termos se ajustem perfeitamente para integração.

Passo 3

Assumimos que o fator integrante tem a forma . Vamos multiplicar toda a equação diferencial por esse fator:
Simplificando os termos:

Passo 4

Para que a equação seja exata, deve satisfazer a condição de exatidão, ou seja, as derivadas parciais devem ser iguais. Vamos identificar e na forma :
A condição de exatidão é:
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as duas:

Passo 5

Vamos resolver essa equação para encontrar :
Rearranjando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todos os e , os expoentes de devem ser iguais e os coeficientes também. Isso implica que:
í
Parece que houve um erro na nossa suposição. Vamos reconsiderar a equação após a multiplicação:
Voltando à equação:
Podemos rearranjar para:
Para que isso seja verdade para todos os e , precisamos que os coeficientes sejam zero. Portanto:

Passo 6

Agora que encontramos , o fator integrante é:
Multiplicando a equação original por esse fator:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma exata, e podemos integrá-la:
Integrando em relação a :
Derivando em relação a e igualando a :
Como , temos , onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Ou, isolando :

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