Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
© A equação
tem um fator integrante da forma
. Determine
e resolva a equação.
© A equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a equação diferencial
e sabemos que ela possui um fator integrante da forma
. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor de
e resolver essa equação. Para isso, vamos usar o conceito de fatores integrantes, que nos ajuda a transformar uma equação diferencial que não é exata em uma que é, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais conveniente:
Isso é do tipo
, e queremos encontrar um fator integrante
que torne essa equação exata. Um fator integrante é uma função que, quando multiplicada na equação diferencial original, faz com que os termos se ajustem perfeitamente para integração.
Passo 3
Assumimos que o fator integrante tem a forma
. Vamos multiplicar toda a equação diferencial por esse fator:
Simplificando os termos:
Passo 4
Para que a equação seja exata, deve satisfazer a condição de exatidão, ou seja, as derivadas parciais devem ser iguais. Vamos identificar
e
na forma
:
A condição de exatidão é:
Calculando as derivadas parciais:
Igualando as duas:
Passo 5
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Rearranjando os termos:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
e
, os expoentes de
devem ser iguais e os coeficientes também. Isso implica que:
Parece que houve um erro na nossa suposição. Vamos reconsiderar a equação após a multiplicação:
Voltando à equação:
Podemos rearranjar para:
Para que isso seja verdade para todos os
e
, precisamos que os coeficientes sejam zero. Portanto:
Passo 6
Agora que encontramos
, o fator integrante é:
Multiplicando a equação original por esse fator:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma exata, e podemos integrá-la:
Integrando em relação a
:
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Como
, temos
, onde
é uma constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Ou, isolando
:
Exercícios relacionados
Encontre nos seguintes exercícios as derivadas
e
sem eliminar o parâmetro
(d)
(d)
Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Mostre que
é solução de cada uma das equações de Ricatti abaixo e encontre a solução geral para cada uma das equações:
(d)
(d)
Determine a derivada da função vetorial.
sen