Agora considere o problema com as temperaturas nas extremidades diferentes de zero:
Resolva este problema usando as técnicas vistas em sala.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma equação de calor em uma dimensão, onde a temperatura nas extremidades do segmento partial^2 upartial t = partial^2 upartial x^2 não é zero. Especificamente, a temperatura nas bordas u(t, 0) = T1, u(t, L) = T2, x in [0, L], t > 0 e u(0, x) = x é mantida constante em e respectivamente. A equação que descreve isso é:
com as condições de contorno:
e a condição inicial:
Para resolver esse problema, vamos usar técnicas de separação de variáveis e encontrar uma solução que satisfaça as condições dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema mudando a função u(t, x) = v(t, x) + phi(x) para eliminar as condições de contorno não homogêneas. Para isso, definimos uma nova função phi(0) = T1, phi(L) = T2 de maneira que:
phi(x) = T1 + (T2 - T1L) x
Escolhemos de forma que ela satisfaça as condições de contorno estáticas:
Uma escolha simples é uma função linear que liga a :
Passo 3
Agora, substituímos partial^2 vpartial t = partial^2 vpartial x^2 na equação original. A equação de calor se torna:
v(t, 0) = 0, v(t, L) = 0
Isso porque v(0, x) = u(0, x) - phi(x) = x - (T1 + (T2 - T1L) x) = x (1 - T2 - T1L) - T1 é uma função estática e suas derivadas em relação a são zero. Além disso, as novas condições de contorno para são homogêneas:
E a condição inicial se ajusta para:
Passo 4
Agora que temos uma equação homogênea para v(t, x) = X(x) T(t) com condições de contorno homogêneas, podemos usar a técnica de separação de variáveis. Assumimos que a solução pode ser escrita como produto de funções independentes de X(x) d^2 T(t)dt^2 = T(t) d^2 X(x)dx^2 e 1T(t) d^2 T(t)dt^2 = 1X(x) d^2 X(x)dx^2 = -lambda :
Substituindo na equação de calor:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é a constante de separação.
Passo 5
Agora, temos duas equações ordinárias:
Para d^2 Xdx^2 + lambda X = 0 :
X(0) = 0, X(L) = 0
Com condições de contorno:
d^2 Tdt^2 + lambda T = 0
Para :
A equação de é uma equação de Sturm-Liouville, cuja solução depende dos valores de .
Passo 6
Resolvendo a equação para lambdan = (npiL)^2, n = 1, 2, 3, dots , impondo as condições de contorno, obtemos os valores próprios Xn(x) = sin(npi xL) :
E as funções próprias correspondentes são:
Passo 7
Agora, resolvemos a equação para d^2 Tndt^2 + (npiL)^2 Tn = 0 usando os valores próprios Tn(t) = An cos(npi tL) + Bn sin(npi tL) :
A solução geral dessa equação é:
Passo 8
A solução geral para v(t, x) = sumn=1^infty [ An cos(npi tL) + Bn sin(npi tL) ] sin(npi xL) é uma soma das soluções separadas:
Agora, aplicamos a condição inicial para determinar os coeficientes e .
Passo 9
A condição inicial para v(0, x) = x (1 - T2 - T1L) - T1 é:
v(0, x) = sumn=1^infty An sin(npi xL) = x (1 - T2 - T1L) - T1
Além disso, derivando a solução em relação ao tempo e avaliando em :
Isso implica que todos os .
Passo 10
Calculamos os coeficientes An = 2L integral0^L ( x (1 - T2 - T1L) - T1 ) sin(npi xL) dx usando a série de Fourier para funções com condições de contorno homogêneas. O coeficiente é dado por:
Esse integral pode ser resolvido usando integração por partes.
Passo 11
Após calcular os coeficientes v(t, x) = sumn=1^infty An cos(npi tL) sin(npi xL) , a solução para u(t, x) = T1 + (T2 - T1L) x + sumn=1^infty An cos(npi tL) sin(npi xL) fica:
Finalmente, lembrando que , a solução completa é:
Resposta
A solução do problema é dada por:
u(t, x) = T1 + (T2 - T1L) x + sumn=1^infty An cos(npi tL) sin(npi xL)
onde os coeficientes An = 2L integral0^L ( x (1 - T2 - T1L) - T1 ) sin(npi xL) dx são determinados pela série de Fourier:
Essa expressão fornece a distribuição de temperatura ao longo do tempo e do espaço na barra de comprimento com as condições de contorno e inicial dadas.