Fazer as otimizações:
b. Um marinheiro encontra-se num bote a remos a 9 quilômetros de distância de uma praia retilínea. O homem deseja atingir um ponto em terra localizado a 15 quilômetros de distância do ponto da praia mais próximo do bote no menor tempo possível. Considerando que a velocidade do homem ao remar é de 4 quilômetros horários, e ao caminhar é de 5 quilômetros horários, determinar o local de desembarque para que o destino seja atingido no menor tempo possível.
b. Um marinheiro encontra-se num bote a remos a 9 quilômetros de distância de uma praia retilínea. O homem deseja atingir um ponto em terra localizado a 15 quilômetros de distância do ponto da praia mais próximo do bote no menor tempo possível. Considerando que a velocidade do homem ao remar é de 4 quilômetros horários, e ao caminhar é de 5 quilômetros horários, determinar o local de desembarque para que o destino seja atingido no menor tempo possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um marinheiro que está num bote a remos a 9 km da praia. Ele quer chegar num ponto específico na terra que fica a 15 km do ponto mais próximo na praia. Ele rema a 4 km/h e caminha a 5 km/h. A ideia aqui é descobrir onde ele deve desembarcar na praia para chegar no destino final no menor tempo possível. Vamos precisar usar conceitos de otimização e um pouco de geometria para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar uma linha reta representando a praia. O marinheiro está a 9 km perpendicularmente dessa praia. O destino está a 15 km de um ponto na praia, vamos chamar esse ponto de P. Queremos encontrar o ponto Q na praia onde ele deve desembarcar para minimizar o tempo total da viagem.
Passo 3
Vamos chamar a distância ao longo da praia entre o ponto P e o ponto Q de
km. Assim, a distância que ele vai remar até Q é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos de 9 km e
km. Usando o teorema de Pitágoras, essa distância fica
km.
Passo 4
O tempo que ele leva para remar até Q é a distância dividida pela velocidade de remar:
Depois de desembarcar, ele precisa caminhar até o destino. A distância que ele vai caminhar é a diferença entre 15 km e
:
Passo 5
O tempo total da viagem é a soma dos dois tempos:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
que minimiza
.
Passo 6
Para encontrar o mínimo de
, vamos derivar a função em relação a
e igualar a derivada a zero:
Passo 7
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 25:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por 9:
Calculando
:
Passo 8
Então, o marinheiro deve desembarcar na praia a 12 km do ponto mais próximo ao bote para minimizar o tempo total da viagem.
Resposta
O marinheiro deve desembarcar a 12 quilômetros do ponto mais próximo da praia para chegar ao destino no menor tempo possível.