a) Encontre a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função . Série de Maclaurin é um tipo especial da série de Taylor que é centrada na origem (ou seja, em ). Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função exponencial e utilizar algumas propriedades de séries.

Passo 2

Primeiro, lembra que a série de Maclaurin para é:
No nosso caso, temos , então vamos substituir por na série:

Passo 3

Agora, queremos multiplicar essa série por para obter a série de :

Passo 4

Podemos reescrever o expoente de como , mas geralmente mantemos na forma para facilitar a identificação dos termos. Portanto, a série de Maclaurin para fica:

Resposta

A série de Maclaurin da função é:

Exercícios relacionados

a) Use a série de Maclaurin de para então deduzir como é a série de Taylor de em torno de .
(2,0) Mostre que a EDO não é exata e encontre o fator integrante .
Use séries binomiais para obter a série de Maclaurin de
a) . Estime o valor de com erro inferior a 0,1 .
Determine uma aproximação de com erro inferior a .