a) Encontre a série de Maclaurin (série de Taylor centrada na origem) da função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a série de Maclaurin da função
. Série de Maclaurin é um tipo especial da série de Taylor que é centrada na origem (ou seja, em
). Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função exponencial
e utilizar algumas propriedades de séries.
Passo 2
Primeiro, lembra que a série de Maclaurin para
é:
No nosso caso, temos
, então vamos substituir
por
na série:
Passo 3
Agora, queremos multiplicar essa série por
para obter a série de
:
Passo 4
Podemos reescrever o expoente de
como
, mas geralmente mantemos na forma
para facilitar a identificação dos termos. Portanto, a série de Maclaurin para
fica:
Resposta
A série de Maclaurin da função
é: